7.1 参数范数惩罚
正则化在深度学习的出现前就已经被使用了数十年。线性模型，如线性回归和逻辑回归，可以使用简单、直接、有效的正则化策略。
许多正则化方法通过对目标函数J添加一个参数范数惩罚，限制模型（如神经网络、线性回归或逻辑回归）的学习能力。我们将正则化后的目标函数记为：
其中α∈［0，∞）是权衡范数惩罚项Ω和标准目标函数相对贡献的超参数。将α设为0表示没有正则化。α越大，对应正则化惩罚越大。
当我们的训练算法最小化正则化后的目标函数时，它会降低原始目标J关于训练数据的误差并同时减小在某些衡量标准下参数θ（或参数子集）的规模。选择不同的参数范数Ω会偏好不同的解。在本节中，我们会讨论各种范数惩罚对模型的影响。
在探究不同范数的正则化表现之前，需要说明一下，在神经网络中，参数包括每一层仿射变换的权重和偏置，我们通常只对权重做惩罚而不对偏置做正则惩罚。精确拟合偏置所需的数据通常比拟合权重少得多。每个权重会指定两个变量如何相互作用。我们需要在各种条件下观察这两个变量才能良好地拟合权重。而每个偏置仅控制一个单变量。这意味着，我们不对其进行正则化也不会导致太大的方差。另外，正则化偏置参数可能会导致明显的欠拟合。因此，我们使用向量w表示所有应受范数惩罚影响的权重，而向量θ表示所有参数（包括w和无须正则化的参数）。
在神经网络的情况下，有时希望对网络的每一层使用单独的惩罚，并分配不同的α系数。寻找合适的多个超参数的代价很大，因此为了减少搜索空间，我们会在所有层使用相同的权重衰减。
7.1.1 L2参数正则化
在第5.2节中我们已经看到过最简单而又最常见的参数范数惩罚，即通常被称为权重衰减（weight decay）的L2参数范数惩罚。这个正则化策略通过向目标函数添加一个正则项，使权重更加接近原点(1)。在其他学术圈，L2也被称为岭回归或Tikhonov正则。
我们可以通过研究正则化后目标函数的梯度，洞察一些权重衰减的正则化表现。为了简单起见，我们假定其中没有偏置参数，因此θ就是w。这样一个模型具有以下总的目标函数：
与之对应的梯度为
使用单步梯度下降更新权重，即执行以下更新：
换种写法就是
我们可以看到，加入权重衰减后会引起学习规则的修改，即在每步执行通常的梯度更新之前先收缩权重向量（将权重向量乘以一个常数因子）。这是单个步骤发生的变化。但是，在训练的整个过程会发生什么呢？
我们进一步简化分析，令为未正则化的目标函数取得最小训练误差时的权重向量，即，并在的邻域对目标函数做二次近似。如果目标函数确实是二次的（如以均方误差拟合线性回归模型的情况），则该近似是完美的。近似的如下
其中H是J在处计算的Hessian矩阵（关于w）。因为被定义为最优，即梯度消失为0，所以该二次近似中没有一阶项。同样地，因为是J的一个最优点，我们可以得出H是半正定的结论。
当取得最小时，其梯度
为0。
为了研究权重衰减带来的影响，我们在式（7.7）中添加权重衰减的梯度。现在我们探讨最小化正则化后的。我们使用变量表示此时的最优点：
当α趋向于0时，正则化的解会趋向。那么当α增加时会发生什么呢？因为H是实对称的，所以我们可以将其分解为一个对角矩阵Λ和一组特征向量的标准正交基Q，并且有。将其应用于式（7.10），可得
我们可以看到权重衰减的效果是沿着由H的特征向量所定义的轴缩放。具体来说，我们会根据因子缩放与H第i个特征向量对齐的的分量。（不妨查看图2.3，回顾这种缩放的原理）。
沿着H特征值较大的方向（如）正则化的影响较小。而的分量将会收缩到几乎为零。这种效应如图7.1所示。
图7.1 L2（或权重衰减）正则化对最佳w值的影响。实线椭圆表示没有正则化目标的等值线。虚线圆圈表示L2正则化项的等值线。在点，这两个竞争目标达到平衡。目标函数J的Hessian的第一维特征值很小。当从水平移动时，目标函数不会增加得太多。因为目标函数对这个方向没有强烈的偏好，所以正则化项对该轴具有强烈的影响。正则化项将w1拉向零。而目标函数对沿着第二维远离的移动非常敏感。对应的特征值较大，表示高曲率。因此，权重衰减对w2的位置影响相对较小
只有在显著减小目标函数方向上的参数会保留得相对完好。在无助于目标函数减小的方向（对应Hessian矩阵较小的特征值）上改变参数不会显著增加梯度。这种不重要方向对应的分量会在训练过程中因正则化而衰减掉。
目前为止，我们讨论了权重衰减对优化一个抽象通用的二次代价函数的影响。这些影响具体是怎么和机器学习关联的呢？我们可以研究线性回归，它的真实代价函数是二次的，因此我们可以使用相同的方法分析。再次应用分析，我们会在这种情况下得到相同的结果，但这次我们使用训练数据的术语表述。线性回归的代价函数是平方误差之和：
我们添加L2正则项后，目标函数变为
这将正规方程的解从
变为
式（7.16）中的矩阵与协方差矩阵成正比。L2正则项将这个矩阵替换为式（7.17）中的，这个新矩阵与原来的是一样的，不同的仅仅是在对角加了α。这个矩阵的对角项对应每个输入特征的方差。我们可以看到，L2正则化能让学习算法“感知”到具有较高方差的输入x，因此与输出目标的协方差较小（相对增加方差）的特征的权重将会收缩。
7.1.2 L1正则化
L2权重衰减是权重衰减最常见的形式，我们还可以使用其他的方法限制模型参数的规模。一个选择是使用L1正则化。
形式地，对模型参数w的L1正则化被定义为
即各个参数的绝对值之和(2)。接着我们将讨论L1正则化对简单线性回归模型的影响，与分析L2正则化时一样不考虑偏置参数。我们尤其感兴趣的是找出L1和L2正则化之间的差异。与L2权重衰减类似，我们也可以通过缩放惩罚项Ω的正超参数α来控制L1权重衰减的强度。因此，正则化的目标函数如下所示
对应的梯度（实际上是次梯度）：
其中sign(w)只是简单地取w各个元素的正负号。
观察式（7.20），我们立刻发现L1的正则化效果与L2大不一样。具体来说，我们可以看到正则化对梯度的影响不再是线性地缩放每个wi；而是添加了一项与sign(wi)同号的常数。使用这种形式的梯度之后，我们不一定能得到二次近似的直接算术解（L2正则化时可以）。
简单线性模型具有二次代价函数，我们可以通过泰勒级数表示。或者我们可以设想，这是逼近更复杂模型的代价函数的截断泰勒级数。在这个设定下，梯度由下式给出
同样，H是J在处的Hessian矩阵（关于w）。
由于L1惩罚项在完全一般化的Hessian的情况下，无法得到直接清晰的代数表达式，因此我们将进一步简化假设Hessian是对角的，即，其中每个。如果线性回归问题中的数据已被预处理（如可以使用PCA），去除了输入特征之间的相关性，那么这一假设成立。
我们可以将L1正则化目标函数的二次近似分解成关于参数的求和：
如下列形式的解析解（对每一维i）可以最小化这个近似代价函数：
对每个i，考虑的情形，会有两种可能结果：
（1）的情况。正则化后目标中的wi最优值是wi＝0。这是因为在方向i上的贡献被抵消，L1正则化项将wi推至0。
（2）的情况。在这种情况下，正则化不会将wi的最优值推至0，而仅仅在那个方向上移动的距离。
的情况与此类似，但是L1惩罚项使wi更接近0（增加）或者为0。
相比L2正则化，L1正则化会产生更稀疏（sparse）的解。此处稀疏性指的是最优值中的一些参数为0。和L2正则化相比，L1正则化的稀疏性具有本质的不同。式（7.13）给出了L2正则化的解。如果我们使用Hessian矩阵H为对角正定矩阵的假设（与L1正则化分析时一样），重新考虑这个等式，会发现。如果不是零，那么也会保持非零。这表明L2正则化不会使参数变得稀疏，而L1正则化有可能通过足够大的α实现稀疏。
由L1正则化导出的稀疏性质已经被广泛地用于特征选择（feature selection）机制。特征选择从可用的特征子集选择出有意义的特征，化简机器学习问题。著名的LASSO（Tibshirani，1995）（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）模型将L1惩罚和线性模型结合，并使用最小二乘代价函数。L1惩罚使部分子集的权重为零，表明相应的特征可以被安全地忽略。
在第5.6.1节，我们看到许多正则化策略可以被解释为MAP贝叶斯推断，特别是L2正则化相当于权重是高斯先验的MAP贝叶斯推断。对于L1正则化，用于正则化代价函数的惩罚项与通过MAP贝叶斯推断最大化的对数先验项是等价的（并且权重先验是各向同性的拉普拉斯分布（式（3.26）））：
因为是关于w最大化进行学习，我们可以忽略logα−log 2项，因为它们与w无关。