第三部 介绍一逻辑系统
本篇要介绍一整个逻辑系统的一部分。因为现在的逻辑系统化，所以要介绍一系统以为例，因为所介绍的是熔逻辑算学于一炉的大系统，本书只能选择最前及最根本的一部分，同时最前及最根本的部分的题材也就包含传统逻辑教科书的题材。根据作者个人教书的经验，在未举逻辑系统实例之前，关于逻辑系统之种种问题不容易提出，也不容易讨论；此所以在第三部介绍系统，而在第四部讨论关于逻辑系统的种种问题。
本篇在第一节提出未解析的命题的推演。这一部分在原书中分为好几部分，共一百六十余命题，第一节仅抄六十余命题。每一命题都有证明。读者或不免感觉这种证明的麻烦，可是其所以完全写出证明者就是因为习而惯之，读者可以得一种训练。
一、未解析的命题的推演
A. 解释弁言
这里的解释分以下两条：1.关于符号；2.关于推论。
1. 关于符号。
以下的符号不必有以下的意义，可是事实上我们给它们以以下的意义。“p，q，r…”解释成未解析的命题。在本书我们不说它们是最初级的命题。“最初级的命题”这一名称似乎有困难。如果命题要解释，如果我们免不了要用解析的方法以研究命题的意义，则是否有“最初级的命题”，颇发生疑问。即有这样的命题，我们也不容易举例。我们手指一物说“这是红的”。“这是红的”是否最初级的命题颇不易说；但只要我们不解析它，它总是未解析的命题。
“├”表示断定。每一命题都有断定的成分在内。假如我向窗外一望说“今天天晴”，“今天天晴”是一命题，有断定成分夹在里面；假如我讨论命题，说“即以‘今天天晴’”为例，严格地说，“今天天晴”不是命题，因为它没有断定的成分。“├”既表示断定，有此符号的命题，均为此系统断定为真的命题。
“～”表示“非”“负”“假”。它可以视为运算（operation），也可以视为真假两值中的假值。有时运算与值一样，有时不一样。有此符号的命题有时此符号表示此命题之为假，有时无此表示。即以本系统的矛盾律而论，“├：～（p·～p）”，括弧外面那个“～”表示括弧里面的命题是假的；可是括弧里面那个“～”，严格地说，只能视为运算；因为假设p代表一真命题，则括弧里的“～”不过表示p的反面而已。但系统的推行既没有因此发生什么困难，我们也不必多所计较。
”表示“或者”，表示“p是真的或者q是真的”。这里的“或者”是相容的或者，所以p、q皆真也是一可能，所排除的不过是二者皆假而已。也可以读成“p、q之中至少有一为真”。负p或负q的情形同样，“～p～q”可以读成“～p、～q之中至少有一为真”。～即“‘p、q之中至少有一为真’是假的”，那就是说“p是假的，q也是假的”。
“=……Df ”表示定义，例如。定义不是本系统的命题，它不过表示符号的用法而已。等号之后，加上“Df ”，即表示定义；那就是说，左边符号的意义就是右边符号的意义。定义既是以比较简单的符号代替比较复杂的符号，所以严格地说来，系统无定义也可以推行，不过不甚方便而已。
表示“蕴涵”或“如果——则”，表示“如果p是真的，则q是真的”。照定义，这句话的意义就是“p是假的或者q是真的”，或者“‘p是真的而q是假的’是假的”。这样的“如果——则”很受了些批评。它是否普通的“如果——则”，颇发生问题；普通的“如果——则”，究竟是怎样的“如果——则”也不见得容易认清楚。但普通的“如果——则”的诸意义中有这里的“如果——则”的意义，同时这里的“如果——则”，在本系统范围之内，似乎没有不清楚的地方。
“·”表示“与”或“和”，或“而且”，或“既——又”；“p·q”表示“p与q都是真的”。这命题所要求的是p与q无一是假。基本定义说“p·q”的意义就是的意义。点尚有另外用法，详见下述。
“≡”表示命题的真假值相等，“p≡q”表示“p与q或者同真，或者同假”。它的定义是。这就是说“p·q”或者“～p·～q”，因为取消“p·～q”，而取消“～p·q”。在P. M.（ Principia Mathematica之简称）中“·”“≡”是分开来的，本书把它们的推演集为一部。
点除表示“与”“和”……之外，尚有以之为括弧的用法，点的数目表示括弧的大小，数目愈大，则所包括的愈多；而断定符号“├”后之点表示断定的范围。兹以下式为例：
断定符号后之两点表示所断定者为整个公式所表示的命题；命题中左右俱有一点的“为命题中的主要蕴涵关系。表示“与”的点例如“p·q”力量最小；在两旁虽仅有一点，与表示“与”的点的数目相等，然因其力量大，仍为此命题中之主要符号。
每一命题均有号数表示，而证明所根据的命题仅写其号数。假如证明中有［1.1·1.2］这样的符号，此符号表示所引用以为证明的根据的命题为“1.1”与“1.2”两基本命题。
表示以“～p”代替“p”，例如，此符号表示“1.2”
那一基本命题————以“～p”代替“p”，成所要引用的命题。
2. 关于推论。
P. M. 中基本命题共有十个，本书仅抄六个。其余四个一方面在本书不甚重要，另一方面它们所应付的问题，本节不预备提出，所以根本没有抄写的必要。
此处所谓“推论”是英文里的inference，推论原则即principle of inference。推论原则是非常之麻烦的原则，我们在第四部讨论它一方面的困难问题，此处不谈到。
本节的推论约有以下诸点我们应注意。
以下系统是现在所称为自足系统的系统，它有它本身所备的推论原则。既然如此，它的基本命题不仅是前提，而且是推论的方式。命题虽只有一套，而用法不只一样。有些前提只是前提，不能以之为推论方式，例如：
所有的人都是有理性的动物，
孔子是人，
所以孔子是有理性的动物。
这里的前提均不是推论的方式，前提的真假与推论的对不对不相干。设有下例，则情形不同：
所有真命题所蕴涵的命题都是真命题，
“q”是真命题所蕴涵的命题，
所以“q”是真命题。这里的推论方式与以前的一样，其不同之处即此推论方式亦同时为其本身之一例。在此处我们承认大小前提为真命题，也承认大小前提蕴涵结论，也承认结论是真命题；可是，我们没有明白地说这里的结论就是小前提所说的“q”那样的命题。我们可以换一方法表示此意：设以此种推论方式为“A”方式，这里由大小两前提而达到结论的推论方式也是“A”方式；可是，我们虽知此方式为“A”方式，而没有明文表示它是“A”方式。所有的推论都有这里所说的情形，这情形不是推论原则的问题，是引用推论原则的问题。推论原则可以明文表示，而推论原则的引用，严格地说，不能以明文表示；因为推论原则的引用总是特殊的，而承认此引用为普遍方式之一例，也是特殊的。我们虽欲以明文表示推论方式的引用，每次所表示的虽在明文范围之内，而那一次的表示不在明文范围之内。换句话说，总有一次的引用是直接的；既然如此，我们不如干干脆脆、一刀两断，承认推论原则的引用是直接的。在第四部我们对于此困难问题，稍加讨论，此处不再提及。
照以上所说的看来，头一例中的前提仅是前提，后一例中的前提不仅是前提，而且也是推论的方式。本系统中的基本命题不仅是前提，而且是推论原则；这不过是说，它们有两种用法。以它们为前提是把它们当作结论的根据，由它们所能得到的结论是本系统所能承认为真的命题；以它们为推论原则是把它们当作推论的根据；合乎此原则的推论是本系统所承认为对的推论。
在解释符号的时候，我们曾举，说这符号表示，这一基本命题，以“～p”代替“p”之后，即为。这里就有以基本命题为原则，直接断定后一命题即为前一命题的例。本系统中的“p，q，r…”既均为任何未解析的命题，则“～p”亦可为“p”之一例，（“～p”也是未解析的命题，这一点本书没有明文表示），所以我们能以“～p”代替“p”；所要求的是，如果在一处以“～p”代替“p”，则一公式中所有的“p”，均须以“～p”代替之。
本系统的基本命题之中，我们写上了：“真命题所蕴涵的命题是真命题”这一命题。原书中有两个类似的基本命题，一引用于未解析的命题，一引用于命题函量。但如果本书所抄的系统仅用以下的“1.1”已经尽职（是否如此颇有问题），我们不必有两个类似的基本命题。
B. 基本概念与基本命题
1. 基本概念：
a.“ p，q，r…”表示未解析的命题；
b. 表示“或”；表示p、q中至少有一为真；
c.“ ～”表示“非”或“假”；“～p”表示“非p”，或“p是假的”。
2. 基本定义：
3. 基本命题：
l.1，真命题所蕴涵的命题是真命题。
C. 命题的推演
（这命题说：如果一命题p是真的蕴涵它自己是假的，则它是假的。右角的号数是原书中此命题的号数。）
（这命题说：任何命题蕴涵一真命题。请注意此处的蕴涵是所谓真值蕴涵。此点在第四部会提出讨论。）
（这命题说：如果P是真的蕴涵q是假的，则q是真的蕴涵P是假的。前一部分为一假言命题，如果P真则q假；后一部分亦为一假言命题，但对于前一部分等于说否认前一部分的后件，亦即否认前一部分的前件。）
（这命题说：如果在P真条件之下，q蕴涵r；则在q真条件之下，P蕴涵r。在真值蕴涵的情形之下，前后两部分的p、q可以更换位置。参见G. Moore，Philosophical Studies一书中关于外在关系的讨论。）
（此处最后一行括弧内的数目表示（1）（2）皆真，（2）既为（1）之前件，则根据（1.1）（1）之后件亦真，而（1）之后件即为所欲证明之命题。以上2.05，2.06，在P. M. 称为三段论原则。以后的“Bardara”三段论即由它们推出。）
（此为同一原则。在P. M. 中同一原则与同一律不同。本书不讨论这一点。）
（在此证明中请注意以下诸点：设以为p1，以为为p3，为p4；以上（3）行表示p1蕴涵p2，（4）行表示p2蕴涵p3，（6）行表示p3蕴涵p4。最后证明的命题为p1蕴涵p4。为使推论的层次严谨起见，此证明利用2.05所表示的三段论原则，证明p1既蕴涵p2，p2既蕴涵p3，（8）行表示p1蕴涵p2蕴涵p1蕴涵p3，（9）行的结论是p1蕴涵p3，（10）行的推论是P3蕴涵P4蕴涵P1蕴涵P3蕴涵P1蕴涵P4，而此最后即为所要证明的命题。
此证明中有连锁推论；若从简便，由（3）（4）（6）已可以得P1蕴涵P4的结论。
同时如果利用“ ”的定义，则第四基本命题即为此处所要证明的命题。）
（以上2.14、2.15、2.16与2.03那一命题相似，属于一类。它们都是表示否认后件亦即否认前件。至于前件与后件单独地究竟为真为假与它们当然无关。在P. M. 中这四个命题称为principles of transportation。）
（2.17与2.01成一对。2.01说：如果P是真的蕴涵P是假的，则P是假的；2.17说：如果P是假的蕴涵P是真的，则P是真的。这里前后两部分仅说是“真”或是“假”，但“则”字后之“真”，可以有必然的意义，“则”字后之“假”，同时也可以有不可能的意义。）
（此命题与2.02成对，均为真值蕴涵的特别情形。2.02说：任何一真命题被任何命题蕴涵；2.19说：一假命题蕴涵任何命题；这一点在第四部还要提及。）
（此证与原书中的证明不同。因为我们抛开了好些命题，我们不能用原来的证明。可是，一个证明用不着这样长，读者可想方法求短的简单的证明。此后有好些证明都不是原书中的证明，但本书没有特别表示它们不是。）
（此命题说：如果p不蕴涵q，则q蕴涵p。如果所谓独立的命题是彼此没有蕴涵关系的命题，则本系统的命题没有独立的。）
（这命题说：如果p是真的，则q是真的蕴涵p与q都是真的。这命题可以是一种推论的方式，至少在本系统范围之内，我们可以利用它把两个分别断定的真命题，合起来断定其为真。例如2.28与2.29可以使我们得“├：p·q·≡·～（～p ～q）”的结论。）
［（2）·（6）·1.1］├：～（p·～ p）
（此为“矛盾律”：“P是真的又是假的是假的。”我们以“与”的思想表示矛盾律，以“或”的思想表示排中律；“或”的思想出现在前，所以排中律先矛盾律而出现。这不过是说在本系统的成文秩序中，排中律在前，矛盾律在后，这与它们彼此的重要问题没有关系。
在此证明中，我们利用排中律去证明矛盾律，这当然纯是根据于成文的先后；设成文的先后反转过来，我们也可以利用矛盾律去证明排中律。）
（此两命题均为三段论原则之另两种表示，以后亦利用之以为推论。这两个命题与传统的三段论比之2.05、2.06更为切近，2.40使人想到“barbara”。情形当然不同，因为这里的p、q、r、、、，不必是传统三段论中的A、E、I、O那样的命题。）
（此命题说：如果p是真的，而p蕴涵q也是真的，则q是真的。
请注意在此证明中，由（5）（6）而得（7）的结论，其推论与2.41这一命题相似；我们可以把它写成：
不同之点如下：
（一）在证明中的推论，（5）与（6）两前件本系统均断定其为真，而在2.41这一命题中，p与p q两前件，我们仅假设其为真，究竟为真与否，无从说起；2.41所断定的是整个的命题，而不是前面那一部分。
（二）在证明中的是推论，是inference。而在这命题中的是蕴涵，是implication。推论说得通的时候，定有蕴涵关系；但有蕴涵关系的时候，不必有推论。在证明中，我们可以说（5）是真的，（6）是真的，“所以”（7）是真的；2.41这一命题虽是真的，而我们既不能说前件是真的，我们也不能说“所以”后件是真的。
（三）证明中的推论的根据是1.1那一基本命题，由此可以知道1.1与2.41为不同的命题。）
（此命题所表示的可以用所谓anti-syllogism为例。设有以下甲乙两组的命题，以普通的三段论的形式表示之，2.42说甲组蕴涵乙组。
请注意以上的例有很不妥当的地方；2.42这一命题没有断定p、q、r之为真为假；用普通语言表示，它不过是说如果甲组是对的，乙组也是对的。）
（此命题与第六基本命题成对，第六基本命题表示“或”方面的关系，而此命题表示“与”方面的关系。）
（以上2.54、2.55、2.56，三命题表示命题的真假值相等有自反质（self-reflexive）、对称质（symmetrical）、传递质（transitive）。蕴涵仅有自反与传递质。）