第28章 突变论(1)
雷内·托姆1923年生于法国，1958年获国际数学最高奖——菲尔兹数学奖。主要贡献有：创立了突变理论、协边理论、奇点理论，提出了“托姆复形”，建立了微分流形的大范围理论中的基本定理。
如果我们把第一类变化叫作“渐变”的话，那么后一种变化自然地应称为“突变”。雷内·托姆对于突变现象的研究始于20世纪60年代中期。为了解释胚胎的形成发育，他在1972年出版的《结构稳定性与形态发生学》一书中提出并系统地阐述了“突变理论”。突变理论运用更为高深的数学理论为工具，来研究自然界和社会现象中的各种形态、结构的非连续性突变，从而引起了数学家、生物学家、哲学家、社会学家以及系统科学家的广泛关注和极大的兴趣。英国数学家奇曼教授高度评价突变论是“自牛顿和莱布尼茨发明微积分三百年以来数学上又一次最伟大的智力革命”。因为牛顿、莱布尼茨用他们的理论——微积分解释了所有连续的、渐变的过程，而托姆的突变理论则解释了所有不连续的、突变的现象。由于托姆的突出贡献，他获得了1958年的国际菲尔兹数学奖。
“突变理论”简称“突变论”，英文名称是CatastropheTheory，英文“Catastrophe”一词的原意就是“突然来临的灾祸”，所以突变论也叫“灾变论”。作为一门新兴科学，突变论在短短数十年间获得了迅速发展和广泛应用，并且很快就成为了系统科学的一大组成部分，与耗散结构理论、协同学理论并称为系统科学“新三论”。
30.数学理论基础——拓扑空间的描述
突变论主要是在拓扑学、奇点理论和系统结构稳定性理论等基础上发展起来的。
30.1拓扑学
拓扑学（Topology），直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。著名的哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学的重要问题。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫作全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
图20是三个拓扑等价图形。
拓扑性质有哪些呢？我们这里只介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但要讨论拓扑等价的概念。比如，在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，也就是说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。比如，图20的三样东西虽然形状、大小可能不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形，换句话讲，从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。
30.2奇点理论
奇点是数学上的一个概念。设有一个一元可微函f（x），用规范的数学语言把它记成：f：R→R（f是一维空间到一维空间的映射）。又设这个一维空间中有一点X0，且有f′（X0）＝0，那么我们就称X0为函数f的一个奇点，又叫临界点，否则称X0点为正则点。如果我们把函数的概念推广到欧几里得空间的映射上，对于这样一个可微映射f：
Rnr→Rmr，同样可以得到奇点和正则点，数学上的推导不在此论述。引入奇点概念的目的是为了对函数进行分类。因为客观存在的函数非常多，虽然这些函数的函数值、函数关系和坐标图形各不一样，但某些函数性质是非常相似的。利用奇点理论就可以根据奇点对函数进行定性分类，这样一方面可以更全面深刻认识函数，另一方面可以很快地找到对我们有用的函数。进一步利用“坐标变换”和秩定理等数学推导可知：函数的两个映射在正则点附近没有区别，可以归为同类，但是在奇点附近，情况则大不相同。因为奇点处函数的导数为零，所以不能保证在该点反函数总是存在，也就无法按正则点附近的办法把它们与恒等变换归成一类，而且不同的函数，奇点性质也不同。因此，在对函数的分类时，实际上是对函数在某个点（通常把这个点取为0）为奇点的函数进行分类，故把这种函数的分类称为奇点理论。有了奇点理论，数学就容易找到稳定的和非稳定的映射以及本质上会发生变化和不会发生变化的形态。
30.3结构稳定性理论
结构稳定性理论一般包括连续族和分歧、代数几何学、微分拓扑、泛函分析和偏微分方程等问题。任何一个物体总是处于环境干扰之中，无论这些干扰的影响是多么的轻微，但是对物体的形态总是有些作用，结构稳定性理论关注的就是这种由稳定性形态组成的开集。因为只有稳定状态才是可以保持的状态，非稳定状态则是虽然可以到达却无法保持的状态，它受到偶然扰动就要迅速离开该状态。稳定性理论又指出，稳定状态必定是某一状态函数的极值点，该点又必定是此处状态函数导数为零的驻点。这就是说稳定状态都存在于令这一状态函数的导数为零的方程的解的集合之中，这样就跟奇点理论联系上了。“稳定性形态”的名称是不严密的，严格地说应该是非形态的，然而这个理论前提却是非常重要的，没有它，形态的运动学和突变是没有意义的。
有了上述数学理论，特别是奇点理论后，研究起来就较为方便了。
当函数f的自变量空间点的参数变化时，f的临界点位置、数值及性质也会发生变化。而且参数连续变化时，f临界点的性质等也会连续发生变化。我们关心的是，参数取何值时临界点的情况会发生突变？奇点理论告诉我们：在正则点处函数不会发生突然变化，只有在奇点处，函数性质才会发生突变。因此，从奇点函数分类来研究一定参数控制下函数的突变情况，就是数学上的突变理论。
托姆把奇点理论加以推广应用到突变论中，他研究了Rn+r→Rr的奇点分类问题，这里n是描述状态参数的数目，r是控制参数的数目，随着控制参数r的改变，状态参数n可能产生突变，在状态参数突变处的控制参数值称为突变点。通常n可以任意大，r的值取小于或等于4比较易于研究。托姆的突变理论的基本概念是静态模型，静态模型在数学上是一族势函数fu：X→Rnr，描述的是状态空间与控制空间的参数关系。当维数r小于等于4时，具有标准势函数的静态模型就是初等变换，它可以作为各种自然过程的定模型。除了基本的初等变换之外，托姆还给出了一阶突变，为建立一般突变论奠定了初步基础。
这里，我们通过一个简单的物理模型系统来形象地说明突变理论的一些基本论点及处理方法，特别是它容易让我们看出动力学势是怎样引起不连续状态的。
在一块底板上装一个可绕轴心O转动的圆纸板，半径为r，在其边缘Q处钉个针尖朝上的图钉，在Q上套两个未拉伸时长均为r弹性度相同的橡皮筋，其中一根的另一端固定于距O为2r的R处，另一根的另一端P则任其自由。现在我们可以在平板上平缓地拉动P。实验一段时间后，我们可以发现：大多数情况下P的位置有微小改变，Q的响应一般总是平稳的，但在某些点处跳动却是非常明显的，这些点就是突变点。如果我们在底板上垫上复写纸，记下Q突变发生时P的位置，就会发现这些位置点大致形成类似于菱形的曲线。对此我们可以这样解释：当P进入或移出菱形时有可能发生突变，但也可能不发生。
在试验中我们会发现，当P在菱形的一个尖点（图21中B）附近作垂直于对称轴的左右移动时，则在两个方向上都只作一次突变，而且它们并不发生在同一位置。最后，如果P在菱形之内，则圆盘有两个稳定平衡位置，其一是Q向左倾斜，另一是Q向右倾斜。如果仔细操作，还能在这两个平衡位置之间找到第三个平衡位置，但它是不稳定的。
这个装置为我们很好地展示了一种突变——尖点突变。托姆在分析了当维数r小于等于4时，共有七类函数，即具有七种突变函数。它们是：折叠突变函数、尖点突变函数、燕尾突变函数、双曲脐突变函数、椭圆脐突变函数、蝴蝶突变函数、抛物脐突变函数。这七个函数的极值点称为临界点，它们的二阶导数为零的点称为退化临界点。这些退化临界点的集合所对应的参数集合，就是发生突变的参数集，这些参数集合的相应图形。
31.突变论的应用——各个领域内的神奇功效
突变理论在自然科学的应用是相当广泛的。物理学研究了相变、分叉、混沌与突变的关系，提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型，解释了物理过程的可重复性是结构稳定性的表现；在工程技术中，研究了弹性结构的稳定性，通过桥梁过载导致毁坏的实际过程，提出最优结构设计；在化学中，用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液，用尖点突变描述水的液、气、固的变化等；在生态学中研究了物群的消长与生灭过程，提出了根治蝗虫的模型与方法。
突变理论在社会科学的应用归纳为某种状态量的突变问题。人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的，只有在控制因素达到临界点之前，状态才是可以控制的。一旦发生根本性的质变，它就表现为控制因素所无法控制的局面从而发生突变。突变理论还可以用于对社会系统某个层次或方面进行有效控制，但事先需要研究社会状态与控制因素之间的相互关系、稳定区域与非稳定区域的关系、突变的方向与幅度关系以及人们的目的与价值的关系，在此意义上，突变论已经成为社会学的一部分了。
31.1突变论在自然科学技术中的应用
火因变化而存在
——（古希腊）赫拉克利特
当今世界的发展日新月异，伴随着现代科学技术的迅猛发展，一些新产品、新技术、新观念相继产生，并被迅速而广泛地应用于各种不同场合、事务和系统之中，在给整个人类社会带来巨大利益的同时，也使得各种系统日趋复杂化。系统中一些潜在的和随机的危险因素也日益增多，一些重大事故和灾害（如水灾、火灾、地震、矿难、交通事故等）频频发生，由此造成严重的经济损失和人员伤亡的同时，也产生了及其恶劣的社会影响，严重地影响了人们的正常工作和生活。为了预防和避免这类事故和灾害的发生，并将损失和伤亡减小到最低程度，必须对其加以科学的预测和防范。然而，由于事故和灾害的发生具有很复杂的发生机制。如果运用一般的预测模型和防范措施，经常导致预测效果不佳或预测的失败，从而防不胜防。因此，有必要建立一套新的、有效的预测模型来进行预测。实践表明，突变理论模型是到目前为止可以比较圆满地解决这一问题的工具。
我们知道引发事故与灾害的原因错综复杂，有内部的也有外部的，有主观的也有客观的，有现实的也有潜在的。但总的归纳起来主要有人、物以及环境这三个因素。如果把环境的因素也看成物的因素，那么事故与灾害的发生就归并为人的因素和物的因素共同作用的结果。人的因素主要包括人的主观性、安全意识、应变能力、管理水平、安全教育程度以及身体素质等，物的因素主要包括工作环境、工作对象的状况、机器的故障、自动化程度以及是否有保护装置等。如果把人的因素（h）和物的因素（m）作为两个控制变量，把系统的功能状态作为状态变量（s），则可用尖点突变来建立事故和灾害原因与预测分析模型。即为事故与灾害的原因分析尖点突变模型的突变流形曲面与分歧点集。曲面的上叶表示系统的功能状态良好（指系统安全性好，没有事故与灾害发生的隐患），下叶表示系统功能状态差（指系统危险性高，存在许多事故与灾害发生的隐患，事故、灾害随时可能发生）。当系统状态从上叶到下叶或从下叶到上叶，它的功能状态发生突跳，则表示事故与灾害的发生。
利用此突变模型可对事故与灾害发生的原因及其大小做出合理的解释。画出了四条不同的曲线，分别表示在人的因素和物的因素作用下系统功能状态所发生的变化过程。从图中可以看出，当人的因素h和物的因素m同时恶化时，就有可能使系统功能状态s产生恶化，其恶化的程度和大小取决于h和m两个控制参数的状态。从曲线上可以看出四条曲线突跳程度是不同的，从里到外依次增强，最里（a）事故与灾害原因分析尖点突变模型；（b）事故与灾害预测分析尖点突变模型面的一条的突跳从上叶到下叶基本上是在同一曲面上，外面三条的突跳程度显然大得多，而且是从上叶直接跳到了下叶，这个过程就产生突变。由此可知，突变的程度跟突跳流形的程度成正比，突变发生点（也叫分歧点）的集合构成折叠线，是否越过折叠线是发生突变与否的标志。通过分析此模型，可以得出如下结论：