第一部 传统的演绎逻辑
一、直接推论
A. 名词
普通教科书关于名词（terms）的讨论大约可以分为以下各节：1. 心理学或知识论方面的问题；2. 名词的种类；3. 外延与内包的分别；4. 定义问题。因为这种讨论一方面与普通教科书中的推论没有多大的关系，教科书中的直接与间接推论大都使用符号，另一方面也对现在的逻辑没有任何的帮助，本书特别从简。
l. 心理学或知识论方面的问题。逻辑这一名词在希腊本来是由logos变出来的，它包含两部分，一为episteme，一为techne。前者是抽象的逻辑，后者是实用逻辑的法则。前一部分就是现在的知识论，而后一部分反变为抽象的形式逻辑。从历史方面着想，逻辑最初就与知识论混在一块。后来治此学者大半率由旧章，心理学与知识论的成分未曾去掉。自数理逻辑或符号逻辑兴，知识论与逻辑学始慢慢地变成两种不同的学问。本章既讨论传统逻辑学，也就不能不提到心理学与知识论方面的问题；但这些问题既与以下部分没有多大的关系，我们也就不必多作讨论。可是有一点我们应该注意。我们说的是逻辑学与知识论要分家。这句话或者免不了有人反对。如果反对者的理由是说事实上逻辑与知识不能分开，我们很可以同情。即以一个具体的人而论，他有物理、化学、生理、心理等等各方面的现象，而各方面的现象事实上没有分开来。但我们不能因为在具体的世界里，各种现象有它们的关联，我们就不应该把它们区别为各种不同的学问的对象。物理现象与化学现象可以混在一块，而物理学与化学仍应分家。逻辑与知识在事实上虽然联在一块，而逻辑学与知识论不能不分开。无论如何，本书遵照现在的趋势，涉及知识论与心理学的地方均特别从简。
2. 名词的种类。此处的名词可以是个体的符号，可以是性质的符号，可以是关系的符号。传统逻辑似乎注重名词，在本条暂且从旧。名词的种类极不一致，各种各类的标准也当然不同。
a. 以范围的广狭为标准，有：
（一）特殊名词——如时地人物的名字。孔子，北平，周朝……
（二）普遍名词——如人，桌子，椅子，书……
（三）集体名词——如军，师，班……
b. 以所指的为具体与否为标准，有：
（一）具体名词——如这个桌子，那个桌子……
（二）抽象名词——如青，红，公道……
c. 以知识层次为标准，有：
（一）感觉名词——代表感觉现象的名词，如这本红书，那张方桌子……
（二）概念名词——代表概念的名词，如方，圆，红，黄……
d. 以意义的正负为标准，有：
（一）正名词——美，好，真……
（二）负名词——不美，不好，不真……
e. 以意义的绝对或相对为标准，有：
（一）绝对名词——如人，树，天，地……
（二）相对名词——如好坏，真假，因果，左右……
其他种种的分类法，如我们再想一想，或者还可以想出许多。但以上已经可以给我们一个印象。我们要知道这里的各种名词与演绎方面的推论——无论旧式与新式——均没有多大的关系。理由如下：
（甲）传统推论中的命题均用符号，新式的系统也用符号，所以根本用不着提出此问题。
（乙）如果符号齐备，运用得法，各种名词的相干的分别，在一系统内均可以有正确的表示，而不相干的分别根本就可以不理。
3. 外延与内包的分别。这个问题比较的重要。先表示普通的分别。名词至少有二用，一注重它的意义，一注重它的范围之内的具体的东西。袭人对宝玉说“人总要上进才行”。这里的“人”是袭人心目中所盼望宝玉能修养得到的那样的人，而不是人类中的赵钱孙李等等均为人的“人”。韩退之说“人其人”。这里前面的人与后面的人不同。后面的“人”是具体的，前面的“人”是韩先生以为具有儒家理想的性质的人。一名词的定义就是那一名词的内包，一名词所指的具体的分子，就是那一名词的外延。
兹以深浅二字形容内包，以广狭二字形容外延。内包有深浅，外延有广狭。在内包方面，人的意义比动物的意义深；在外延方面，动物的范围比人的范围广。普通人均以为内包愈深则外延愈狭，内包愈浅则外延愈广。反过来似乎也可以说：外延愈广则内包愈浅，外延愈狭则内包愈深。其实外延狭，内包不必深。龙的外延非常之狭，至少比人狭，而龙的内包不必比人的内包深。凡没有具体分子的类词，其外延皆狭，而其内包不必深。以上内包与外延成反比率的话似乎是表示事实上的统计情形，而从事实上的统计方面着想，这句话似乎可以说得过去。
关于内包与外延的讨论及笔墨官司，有一部分现在根本可以不必提及，但另有一部分现在似乎还是很重要的问题，现在仍有所谓内包逻辑与外延逻辑。主张内包逻辑的人几乎免不了以为外延逻辑根本不是逻辑，而是算学。主张外延逻辑的人，事实上是注重算学，但他们的系统在形式方面仍是逻辑。近来还有更进一步的辩论。兹以路易斯与罗素的系统为例。路易斯的系统似乎是所谓“内包”逻辑的系统，而罗素的系统通常以为是“外延”的系统。路易斯氏对于罗素的系统的批评约有以下诸端：（1）罗素的系统与我们心目意识中的逻辑大不同，尤其是蕴涵（implication）的意义与普通蕴涵的意义大不同，其结果是无论怎么命题差不多都有蕴涵关系，而彼此独立同时彼此一致的命题差不多没有。（2）罗素系统中表面上虽是用方才所提到的那样奇怪的蕴涵，而其实所用的均是路易斯氏所主张的蕴涵关系。路易斯谓罗素系统中的推论其所以无毛病者在此。（3）罗素系统中一部分的思想可以容纳到路易斯的严格蕴涵系统中，而路易斯系统中有一部分的思想不能容纳到罗素系统中去。赞成罗素系统的人（如亚伯拉姆氏）则谓路易斯系统中的严格蕴涵关系，罗素系统中亦有，不过照罗素系统的层次发生较迟而已。亚伯拉姆氏的文章很长，详见Monist。总而言之，内包与外延似乎不是绝对两不能通而彼此独立的逻辑。即以“形式蕴涵”而论，这里的蕴涵关系，说它是X方面的外延关系固可，稍加修改说它是φ与ψ的内包关系亦未尝不可。
这个问题详细地讨论起来，既费时间且费精力。它与演绎系统的关系浅，与逻辑哲学（philosophy of logic）的关系深，我们在此处不过提及而已。
4. 定义问题。传统逻辑里的定义问题颇为重要，但与现在的定义问题不同。兹先述传统逻辑里的说法。这个说法大约可以分作以下部分：a. 定义之重要；b. 内包的定义；c. 外延的定义；d. 定义的规律。
a. 定义之重要。定义的重要，用不着多说。若所用的名词其意义不定，则无谈话的可能，无语言文字的可能，当然也无逻辑的可能。“重要”两字是相对的。如果我们要思想合乎逻辑，要条理化，要一致等等，定义是不可缺的；如果我们不谈逻辑，不谈条理，我们也用不着定义。
b. 内包的定义。普通用定义二字时，所说的定义大都是内包的定义，因为严格地说没有外延的定义。但在普通教科书里，内包的定义有两种，一为名义的定义，一为实质的定义；前者如“博爱之谓仁”，后者如“人是两足的动物”。一注重名词所包含的意义，一注重名词所代表的东西的实质。二者孰为重要，孰为靠得住，在从前曾为一辩论的问题，而在现在根本用不着讨论，至少在逻辑系统范围之内用不着讨论。
c. 外延的定义。这个名词是一时的创造，普通教科书里称为division，这实在是一种分类法，不过它的原则就是二分法而已。任何一比较根本的名词，或外延较广的名词，递分之为二，可以成一摆成三角形的名词集团。在此三角形内有些名词，有它的特殊的一定的位置。例如下图所示。
d. 关于定义之规律大约有好几条，关于division也有规律。这许多规律中仅有一条是我们要注意的，其他都可以不理。我们所应当注意的一条，最简单的说法，就是定义不要绕圈子。兹名整个表示定义的话为定义，被定义的名词为左词，定左词的义的名词为右词。我们应注意的条件不过是说右词中不能有左词复现，或左词不能重见于右词。这一条是不仅传统逻辑有此问题，现在还是有此问题。为什么有此问题呢？我们觉得这一条规律是我们所应遵守的，但理由可不容易说。通常有两个理由，现在因演绎逻辑系统化之后又加上第三个理由。
（一）知识方面的先后问题。我们对一名词觉得要下定义时，或者我们不知道它的意义，或者它的意义不清楚，右词的职责就是使我们知道左词的意义，或使左词的意义清楚。如果左词重现于右词，则右词不能尽它的职责。这一个理由似乎是最普通的理由。
（二）无量推进而无止境的问题。如果右词包含左词，或左词重现于右词，而右词的职务在定左词之义，则右词本身之义未定，如果第一个右词本身的义未定，则须求助于另一定义，但第二定义中的右词的情形与前一样。如此类推永无止境，那就是说定义根本就不能实现。
（三）演绎逻辑系统化之后，除知识方面的先后外尚有系统方面的先后。每一系统有它的演进的层次。在一系统中之定义，右词均已曾见于那一系统而左词则尚未发现于那一系统。在系统的演进层次方面，右词在前，左词在后。如左词重现于定义之右词，则右词在那一系统中仍为一未发现之名词。以一尚未发现的名词去定一尚未发现的名词的义，当然办不到。
以上的讨论根据于定义不要绕圈子的规律，但这问题还有许多旁的问题夹杂在里面。所谓左词不能重现于右词，是整个的左词呢，还是只要与左词有关系的名词均不能重现于右词呢？还是左词的部分均不能重现于右词呢？定义不能绕圈子，可是事实上能不能免绕圈子呢？如果百科全书代表人类的思想，百科全书免不了绕圈子，则我们的思想也免不了绕圈子。如果定义从大的方面广的方面不能不绕圈子，而在狭的方面又不能绕圈子，则问题不是任何圈子都不能绕，而是多么小的圈子不能绕。关于定义问题以后还要提出，但方才所说的这一层以后不再讨论。
B. 命题
传统的逻辑讨论命题的时候常常是讨论判断，因此有一部分的思想是心理学与知识论方面的思想。以下的讨论不限于狭义的传统逻辑。兹分为四部分：1. 心理方面的讨论；2. 主宾词式的命题；3. 命题的各种分类法；4. 以量与质为标准的各种分类法。
1. 心理学与知识论方面的问题，在作者个人是最不容易着笔的问题。最大的关键似乎是把逻辑里的命题当作知识论里的判断。判断离不了心理，离不了历史的背景，离不了一时一地的环境。既然如此，则讨论命题的时候，演绎系统之外的问题也就不能不连带提出讨论。但其所以如此者，因为最初的逻辑本来就有知识论在内。谈名词就谈到官觉与感觉，谈命题就谈到判断，愈注重在求知识的实际上的应用，愈不能得抽象的进步，愈注重实质，愈忽略形式；其结果是形式方面的对与不对的问题无形之中变成了真与不真的问题。本书对于此问题特别从略。
2. 主宾词的命题：传统逻辑里的命题都是主宾词式的命题。所谓主宾词式的命题者可以用“‘甲’是‘乙’”的形式代表。此中“甲”与“乙”均代表名词，而二者之间有“是”字以为联系。“甲”即主词，“乙”即宾词。此等名词实由印度欧罗巴各种文字的文法中借来。从习于这一支派文字的人的眼光看来，这个形式当然是非常之普遍，在语言文字既为普遍，在逻辑也容易视为普遍，其结果是传统逻辑的命题都是具这种形式的命题。
希腊文字也是这一支派的文字，希腊的思想也就受这一支派文字的影响。文字方面的通式既是主词与宾词的关联，事物方面的普遍情形也就变成了本质与属性的综合。所谓判断不过是表示某种本质有某种属性而已。在传统逻辑里，命题既与判断分不开，判断既表示某本质有某属性，命题也就是某一主词与某宾词的关联。
别的理由或者还不少，但主宾词的形式既为命题的普遍形式，而传统逻辑一方面范围狭，另一方面又混沌，这样从范围方面说，表示关系的命题就发生困难。“A比B长，B比C长，所以A比C长”这样的推论在三段论的推论中就发生问题。此推论是很明显地靠得住，可是它不守三段论式法，而其所以不守三段论式法者是因为这个推论中的命题根本就不是主宾词式的命题。即强为解释成主宾词式的命题，它们的推论仍违三段论式的规律。把命题限制到主宾词式，其不遵守此式者传统逻辑无法应付。
另外一方面因把命题限制到主宾词式，传统逻辑又太混沌。“甲是乙”这命题中之“是”字，其意义非常不清楚。兹特以最普通的“All men are mortal”为例。此命题至少可以有以下不同的意义：
a. 把主宾词均视为类词，“是”字表示两类的包含关系，如此则此命题的意义是“人”类包含在“有死”类之中。
b. 把主词代表具体的个体，而宾词代表类词，“是”字表示什么样的个体属于“有死”类，如此则此命题等于说“赵钱孙李等等”均是“有死”类的分子。分子与类的关系和类与类的关系根本不同，这一层以后再要提出说明。
c. 把主词视为具体的东西而宾词视为属性，“是”字表示宾词所代表的属性可以形容主词所代表的东西，如此，则此命题说“具体的人”有“有死”的属性。
d. 把主词与宾词视为两种概念，“是”表示两概念之关系，而此命题之意义是“人”概念在“有死”的概念之中。这个等于说，无论有人与否凡能以“人”概念去形容的东西，也是能以“有死”概念去形容的东西。“是”表示无条件的两概念的当然关系。
e. 以主词的存在为条件而宾词或为概念，或为类词，或为表示属性的名词。如此则此命题在此条件满足之下才有意义，不然无意义。“是”字表示在相当条件之下的一种一定的情形。
f. 以主词的存在为事实而宾词如e条所述。如此，则此命题表示事实，“是”字表示一种实然的情形。
g. “all”这一字可以当作“所有已往及现在的”的解释，则此命题中的“是”有“已经是”与“仍是”的两意义，以后怎样则不曾说起。
h. “all”这一字可以当作“所有已往，现在及将来的”的解释，则此命题的“是”字无时间的限制。
i. “all”这一字也可以当作一集团的解释，但大都不至于有此解释。可是如果用此解释，则“是”字的意义又与以上的不同，而在此解释之下，又有各种不同的意义可能。
无论如何，即此两端已经表示逻辑中的命题不能限于主宾词式的命题，而传统逻辑有此限制。
3. 命题的各种分类法。命题的分类有与名词的分类一样的地方；有各种不同的标准，也有各种不同的分类法，而同时彼此也可以相容。
a. 如以层次为标准，我们可以有：
（一）初级命题。 如：礼义廉耻，国之四维。
（二）次级命题。 如：管子说，礼义廉耻，国之四维。
前一命题所注重的是礼义廉耻究竟是不是国之四维，而后一命题严格的说来注重在管子说了这句话没有。如此类推，可以有三级命题、四级命题等等。此处之所谓初级是相对的，我们可以把它改成n级，如此则次级为n+1级。
b. 以命题之简单与复杂为标准，我们有：
（一）简单命题。 如：李先生在教育部做事。
（二）连合命题。 如：李先生在教育部做事，同时在学校教书。
（三）复杂命题。 如：如果李先生在教育部做事，他就不能住在广东。
c. 以命题所表示的情形的性质为标准，我们可以有：
（一）直言命题。 如：人为万物之灵。
（二）假言命题。 如：如果x是人，他就是万物之灵。
d. 以命题的质与量为标准，我们可以有：
（一）肯定命题。 如：李先生是学者。
（二）否定命题。 如：李先生不是学者。
（一）与（二）均从质着想。
（三）全称命题。 如：所有的中国人都有黑头发。
（四）特称命题。 如：有些中国人有黄头发。
（三）与（四）均从量着想。在此处“所有”视为“all”之译名，“有些”视为“some”的译名。“all”与“some”的意义不清楚，可是在此处不必特别提出讨论。
4. 质量标准下的各种不同的分类法。在传统逻辑，质量标准的分类法是最重要的分类，因为传统演绎法的推论差不多全是根据于引用这种分类法的命题。但本段所举的各种分类法之中，有些不在传统逻辑范围之内。
a. 最老的而同时也是最普遍的就是普通教科书里A、E、I、O四个命题。
（一）所有的 S 都是 P············A
（二）有些 S 是 P··················I
（三）有些 S 不是 P···············O
（四）无一 S 是 P··················E
“A”“E”“I”“O”名词当然是有来源的，但是我们可以置之不理。我们叫它们作东西南北或上下左右亦未尝不可。但既有此旧名词，最好是仍旧。S表示主词，P表示宾词。这四个命题有时写成：
（一）SAP，（二）SIP，（三）SOP，（四）SEP。
b. 以上的命题在主词方面有量的表示，而在宾词方面没有量的表示。哈蜜敦（Hamilton）主张宾词亦应有量的表示。这个主张在从前曾经有许多讨论与辩论，而现在似已成逻辑学史上的陈迹。根据于此主张，哈蜜敦提出以下八个命题。
（一）所有的S是所有的P
（二）所有的S是有些P
（三）有些S是所有的P
（四）有些S是有些P
（五）任何S不是任何P
（六）任何S不是有些P
（七）有些S不是任何P
（八）有些S不是有些P
c. 温约翰（Venn）以种种理由赞成以上的主张，而不赞成以上八个命题的办法。他赞成以质量为标准而分别以下五个命题：
（一）所有的S是所有的P
（二）所有的S是有些P
（三）有些S是所有的P
（四）有些S是有些P
（五）无一S是任何P
d. 前几年辞世的约翰生（Johnson）似乎主张把主词与宾词均视为形容词，而传统的A、E、I、O因此具以下的形式：
（一）“A” 凡是S者均是P
（二）“E” 无是S者是P
（三）“I” 有是S者是P
（四）“O” 凡是S者不均是P
e. 赖德·弗兰克林（Ladd-Franklin）与沈有乾先生均赞成以下比较复杂的八个命题：
（一）无一S是P
（二）所有非S均是P
（三）无一非S是P
（四）所有的S均是P
（五）所有的非S不均是P
（六）有些S是P
（七）所有的S不均是P
（八）除S之外有些是P
在以质量为标准的范围之内，这八个命题的意义比以前的均精确，范围也比以前的为广，同时彼此的关系也相当的复杂。
C. 直接推论中之对待关系
所谓直接推论者即不用第三命题的媒介，在两命题中由其一而推论到其二。传统逻辑中的直接推论有两部分，一即命题的对待关系，一为换质换位两法及其变态的推论法。本段仅提对待关系。讨论的层次如下：1. 各关系的定义；2.传统逻辑教科书中的对待关系；3. 各种不同解释下的各种不同的对待关系。
1. 各种关系的定义。
a. 反对（contrary）。两命题[1]有反对的关系，如果
（一）可以同时假；
（二）不能同时真；
（三）由一命题之真，可以推论到第二命题之假；
（四）由一命题之假，不能推论到第二命题之真或假。
b. 下反对的关系（sub-contrary）。两命题有下反对的关系，如果
（一）可以同时真；
（二）不能同时假；
（三）由一命题之假，可以推论到第二命题之真；
（四）由一命题之真，不能推论到第二命题之真或假。
c. 矛盾的关系（contradictory）。两命题有矛盾的关系，如果
（一）不能同时真；
（二）不能同时假；
（三）由一命题之真，可以推论到第二命题之假；
（四）由一命题之假，可以推论到第二命题之真。
d. 差等的关系（sub-alternate）。两命题有差等的关系，如果一为全称一为特称，而
（一）可以同时真；
（二）可以同时假；
（三）如全称为真，则特称亦为真，全称为假，特称不定；
（四）如特称为真，全称不定，特称为假，全称亦为假。
2. 表示命题的图形。
a. 在教科书里，有以图形表示命题的方法。图形的确有助于我们对命题的了解。普通用的图形似乎是两个圈。方法如下：
b. 本书所用的方法也是老方法。在未画图之前，我们应先说几句关于二分法的话。如果有一名词A用二分法后，就有另一名词非A，兹以表示之。如果有两名词A、B，用二分法后，就有四名词，AB、、、。如果有三名词A、B、C，用二分法后，就有八名词，ABC、、、、、、、。命题同样。说以A、B为例，我们可以画图形如下：
此中1为，2为，3为AB，4为。
设有A、B、C三名词，其图形如下：
此中1为，2为，3为，4为ABC，5为，6为，7为，8为。此图在三段论或常用，在直接推论中只要上一页那图形。
c. 兹以图表示A、E、I、O。
（一）SAP
此图表示有SP，没有，“+”表示有，“≡”表示没有。关于有SP这一层，以后的讨论尚多。第四格之究竟有否，此图没有表示，这一层比以上两圈的办法高明得多。总而言之，此图表示在代表P的那个圈子范围之外没有S，这也就是表示所有的S都是P。
（二）SEP
此图表示没有SP，那也就是表示没有S是P。
（三）SIP
此图表示有SP，那就是说有S是P。至于有不是P的S或不是S的P与否，此
图无表示。
（四）SOP
此图表示有SP，那就是说有不是P的S或有S不是P。至于有是P的S或不是S的P与否，此图无表示。
3. 传统教科书中的对待关系。
a.（一）A与E的关系为反对关系。“所有的S都是P”与“无一S是P”这两个命题不能够同时是真的；这一层显而易见，如不能见，似乎没有好法子表示。它们可以同时假；这层很容易知道，只要有一部分的S是P，一部分不是，则A与E俱假。既不能同时真，则如A是真的则E是假的，E是真的则A是假的。但既可以同时假，则A是假的，E可以是真的也可以是假的；E是假的，A可以是真的也可以是假的。
（二）兹以图表示：此以上表示A与E“不能”同真，可以同假，一真则另一必假，一假则另一不定。此情形满足反对的定义。
b.（一）I与O的关系为下反对的关系。“有些S是P”与“有些S不是P”——“有些”二字的范围可以宽到“所有”——可以同时真，只要一部分的S是P，一部分S不是，这两命题很容易知其可以同时真。可是它们不能同时假。这一层与“有些”的范围有关，如果“有些”的范围宽到“所有”的范围，即令所有的S是P，这两命题之中仍有一真，所以它们不能同时假。既然如此，由假可以推真，由真不能推假。
（二）兹以图表示：以上表示I与O可以同真，“不能”同假，一假则另一必真，一真则另一不定。所以I与O为下反对。
c.（一）A与O，E与I的关系为矛盾关系。兹以A与O为例；“所有的S是P”与“有些S不是P”，这两命题彼此互相否认。有些S不是P”等于说“不是所有的S是P”。既然如此，则在二分法情形之下，它们不能同时真，也不能同时假；由真可以推假，由假也可以推真。E与I的关系同样。
（二）兹以图表示：
此图表示A与O“不能”同真也“不能”同假，一为真另一为假，一为假另一为真。它们是矛盾的命题。E与I同样。
d.（一）A与I，E与O的关系为差等的关系。兹以A与I为例，“所有的S是P”与“有些S是P”，此两命题一为全称，一为特称。全称与特称都可以真，如全称为真，特称亦真，特称不过是限制稍低的命题而已。如果事实上无一S是P，则此全称与特称均假，所以可以同时假。但全称为假时，特称不必就假，高限度的话虽不能说，低限度的话不见得就不能说。由特称的真不能推到全称的真，低限度的话虽能说，高限度的话不见得就能说；可是特称为假时，全称亦为假，低限制的话不能说时，高限度的话也不能说。
（二）兹以图表示：此图表示A与I可以同真，亦可以同假；I真则A可真可假，I假则A假；A真则I真，A假则I可真可假。它们的关系为差等；E与O同样。
通常以下图表示A、E、I、O的关系：
4. 以上表示A、E、I、O在事实上有那样的对待关系，现在我们要看看这些关系是否一致。我们似乎不能假设任何其他两对待关系以证明A与O，E与I为矛盾的命题，但如果我们假设A与O、E与I为矛盾命题，及其他任何一对待关系，可以证明其余的对待关系。
a. 兹假设E与I为矛盾，A与I为差等，证明A与E为反对。
（一）E与I既为矛盾，E假则I真；A与I既为差等，I真则A不定；所以E假则A不定。
（二）E真则I假，I假则A假，所以E真则A假。
（三）A假则I不定，I不定则E不定；所以A假则E不定。
（四）A真则I真，I真则E假；所以A真则E假。
（五）A真则E假，E真则A假；所以AE不能同真。
（六）A假则E不定，E假则A不定；所以AE可以同假。
（七）所以AE的对待关系为反对的对待关系。
b. 兹假设A与O为矛盾，A与I为差等，证明I与O为下反对。
（一）A与O既为矛盾，O真则A假；A与I既为差等，A假则I不定；所以O真则I不定。
（二）O假，则A真；A真，则I真；所以O假则I真。
（三）I真，则A不定；A不定，则O不定；所以I真则O不定。
（四）I假，则A假；A假，则O真；所以I假则O真。
（五）由真不能推假，所以I与O可以同真。
（六）由假可以推真，所以I与O不能同假。
（七）所以I与O的关系为下反对的关系。
c. 兹假设A与O为矛盾，I与O为下反对，证明A与I为差等。
（一）I与O既为下反对，I假则O真；O与A既为矛盾，O真则A假；所以I假则A假。
（二）I真，则O不定；O不定，则A不定；所以I真则A不定。
（三）A假，则O真；O真，则I不定；所以A假则l不定。
（四）A真，则O假；O假，则I真，所以A真则I真。
（五）（一）条表示A、I，可以同假。
（六）（四）条表示A、I，可以同真。
（七）A与I的对待关系为差等的对待关系。
D. 直接推论中之换质与换位
换质与换位至少有一部分是语言方面的问题；例如换质“凡S皆是P”与“无S是非P”，用布尔（Boole）的符号表示，都是“SP=O”，或如换位“有些S是P”与“有些P是S”，用布尔的符号表示，都是“SP>O”，因为“SP>O”与“PS>O”相等。在这一部分的直接推论中还有推论如 partial contraposition，full contraposition，partial inversion，full inversion等，但基本的变换还是换质与换位。本节的讨论分以下各部分：1. 换质与换位的定义；2. 换质换位中所发生的问题。
1. 换质与换位的定义。
a. 换质的定义。所谓换质就是改换宾词的质（正与反）以相反的语言表示一与原来命题意义相同的命题。此中有极大问题，最根本就是换质法能说得通否？由一包含正宾词的正命题在什么条件之下才能变成一包含反宾词的否定命题？反正名词的意义与范围及肯定与否定命题的意义与范围等等。但在此我们均不提及，我们假设换质法说得通。兹举例如下：
（一）SAP 换质到 SEP
（二）SIP 换质到 SOP
（三）SOP 换质到 SIP
（四）SEP 换质到 SAP
以上由SAP换质到SEP等，均是由一有正宾词的命题换成一有反宾词的相反命题。兹以图表示之：此图表示换质是对称的，不但SAP可以换质到SEP，SEP也可以换质到SAP。
b. 换位的定义。换位是改换主词与宾词之位置而得一由原来命题所能推论得到的命题。此处说“得一由原来的命题所能推论得到的命题”，因为换位后的命题与原来的命题不必相等。它们既不必相等，则换位不是对称的。兹称原来的命题为原位命题，换位后的命题为换位命题。
（一）换位的规律。
（甲）在原位命题未周延之名词，在换位命题亦不得周延。（周延二字的意义最好以例表示。A的主词周延，宾词不周延；I的主宾词均不周延；O的主词不周延，宾词周延；E的主宾词均周延）。
（乙）原位命题与换位命题的质须一样。
（二）换位的种类。
（甲）简单的或无限制的换位，如SIP换到PIS。
（乙）有限制的，如由SAP换到PIS。
（三）A、E、I、O的换位：
SAP 换到 PIS
SIP 换到 PIS
SOP 不能换
SEP 换到 PES
SOP之不能换位者，其理由已见于换位的规律。如果把SOP换位到POS，则在原位命题之S未周延而在换位命题的S周延，所以有违第一规律。如果把SOP换位到PIS则第一规律虽遵守，而原位命题为否定换位命题为肯定，其质不同，所以有违第二规律。结果是SOP不能换位。
c. 换质换位（contraposition）的定义。先换原来命题之质，再换换质命题之位，其结果即为换质换位之命题。或者说反原来命题之宾词以之为主词所得的命题即为原来命题之换质换位的命题。
（一）换质换位之种类：
（甲）不完全的，如。
（乙）完全的，如；
（二）A、E、I、O的换质换位：
（三）SIP没有换质换位的命题，因为换质后SIP变成了SOP，而SOP不能换位。既不能换位当然就不能有换质换位的命题。所谓完全的换质换位，不过是把不完全的换质换位再换一次质而已。此足以表示这里的第三种直接推论仍不过是第一与第二两种直接推论的引用而已。
d. inversion，此不知如何翻译才好，或者说反原来命题之主词以之为主词，而所得的新命题即为原来命题的inversion命题。
（一）inversion也有：
（甲）完全的，如
（乙）不完全的，如。
（二）A、E、I、O的inversion：
SEP的inversion须先从换位起才能得到，SEP换位后得PES，PES换质后得，PAS再换位得，此即不完全的inversion，再换质得，此即完全的inversion。
e. 传统逻辑的换质换位可以总结如下：（此见威连约翰生的逻辑书中，不过符号稍有更改而已。）
此中有换位换质命题，上面所未曾谈到。此不过是先换位后换质的命题，与换质换位命题的不同之处在质位更换的先后而已。
2. 换质换位的推论问题。
换质换位很早就发生问题。有人曾经说过：SAP之P不周延，而SAP所推论出来的之P则周延，由一不周延的P居然推论到周延的P，推论层次中必有毛病。对于此问题铿因斯（Keynes）早就提到“存在”问题，现在则整个的推论靠得住与否都发生问题。兹特从以下诸点着想。
a. 设有以下两命题：“SAP”与它们的关系是什么关系呢？这问题看起来简单，可是从传统逻辑的推论方面着想，它是不容易得答案的问题。
（一）SAP可以换位到PIS；
可以换位到而又可以换质到POS。
PIS与POS在对待关系推论中有下反对关系。SAP虽不与PIS相等，虽不与POS相等，而由SAP既可以推论到PIS，由既可以推论到POS，同时PIS与POS有下反对的关系，我们可以问SAP与的关系是否下反对的关系，那就是说它们是否不能同时假？
（二）SAP可以换质到，再换位到；
可以换质到，再换位到，而又何以换质到。与两命题的关系在对待关系中是反对的关系。此处与（一）条所说的又大不相同，SAP等于而等于。与既为反对的命题，我们似乎可以问SAP与是否是反对的命题呢？它们是否不能同时真呢？如从（一）条它们不能同时假，如从本条它们又不能同时真。究竟它们的关系是怎样的关系呢？
（三）由SAP可以推论到，而，在对待关系中，有矛盾的关系。那么SAP与是否也有矛盾的关系呢？如果它们矛盾，它们既不能同时真，也不能同时假。这样说来，既不反对，也无下反对的关系。SAP与照以上说法，可以有三种不同的关系。哪一种说得过去，哪一种说不过去呢？这里的问题不仅止于推论的靠得住否，一致否，同时它还有反主词的意义问题。这个问题很麻烦，本书不提出讨论，本书只限于直接推论之靠得住否。
b. 设SAP代表“所有的人是宇宙的分子”，代表“所有的非人是宇宙的分子”。这两个命题似乎没有毛病，它们同时是真的。宇宙的分子既包括一切，则不仅所有的人是宇宙的分子，即所有的非人也是宇宙的分子。这两个命题既然同时能真，当然不能矛盾，也不能反对，而照以上的说法，除第一项外，SAP与总有冲突。
这两命题或者可以说比较的古怪，我们可以举一个近乎日常生活的命题。国内的报纸以受种种限制使读者感觉到没有真实的消息。在此情形之下，如果有人说“所有的正式电报都是假电报”，“所有的非正式电报也都是假电报”，他可以说这两命题都是真的。但照以上所说，SAP与似乎总是有冲突的。
这里当然有旁的问题，如S的范围、S的意义等，但这问题我们可以不必提及。有一问题是与以上讨论对待关系时所讨论的问题一致的。此处的两例都可以说得过去，因为SAP与之“P”有特别情形。这两命题中之P都是没有相反的名词，或者说所代表的东西不存在。在前一例，我们可以说，没有非宇宙的分子，所以“所有的人都是宇宙的分子”与“所有的非人都是宇宙的分子”，都是真的。在后一例，我们所要表示的就是没有真电报，所以“所有的正式电报是假的”而“所有的非正式电报也是假的”。从这一方面着想问题已经到存在问题上面去了。SAP与两命题都说得通的时候，则不存在，而由SAP所推论得到与由所能推论到的两命题，就有主词存在与不存在的问题发生。这一部分的直接推论与前一部分的直接推论有同样的问题，那就是A、E、I、O的解释。但这