二、间接推论 三段论式法
以上对待关系的推论是由一命题推论到另一命题，换质与换位的推论也是由一命题推论到另一命题。在这两种推论之中，两命题之间没有第三命题以为媒介，此所以称为直接推论。三段论式的推论是两命题用其一以为媒介而推论到第三命题。这是普通的说法。其实两前提合起来即成一命题，由此联合起来的一命题可以推论到一结论。果如此，则所谓间接推论亦即直接推论。我们现在既讨论传统逻辑的推论，最好暂仍旧说。
三段论的推论是已经有三名词而同时是以主宾词式的两命题为前提，推论到它们所蕴涵的第三主宾词式的命题，而以此第三命题为结论的推论。三段论并不仅是由两前提推出一结论。A比B长，B比C长两前提，能得一A比C长的结论，但这不是三段论。第一理由是这三个命题都不是主宾词式的命题，第二理由是此三命题之中不只有三个名词。以下的讨论分以下各部：A. 关于三段论所用名词；B. 三段论式的规律；C. 三段论式之格；D. 三段论式之式；E. 连环式等。
A. 关于三段论式所用名词
1. 兹以下式为例：
所有的人都是有理性的
孔子是人
孔子是有理性的
a. “大词”是结论的宾词，此例中“有理性的”是大词。
b. “小词”是结论的主词，此例中“孔子”是小词。
c. “中词”是结论所无而两前提所共有的媒介词，此例中“人”是中词。
d. 三段论有两前提：具大词之前提为大前提，具小词之前提为小前提。
2. “周延”。命题的范围有涉及主宾词的全体者，有仅涉及主宾词之部分者；涉及部分时有坚决地表示一部分者，有含糊地表示一部分者。兹以A、E、I、O的主宾词说明：
所有的S都是P
有些S是P
有些S不是P
无一S是P
A命题涉及全体的S，可是仅涉及部分的P。此处所谓部分的P是说A命题究竟涉及全体的P或部分的P，我们不能决定，我们只得从低的限度说仅涉及部分的P。I命题说一部分的S是一部分的P，可是什么部分、与部分的多少均未说出。O命题说一部分的S不是P。从S方面着想，我们不知道是全体或部分，或哪一部分；但从P方面着想，有一部分的S，无论哪一部分，不是P。在S方面范围含糊，而在P方面范围坚决。E命题涉及S与P的全体，毫无含糊的情形。A、E、I、O这四个命题之中，A的S，O的P，E的S与P，均称为周延的名词；而A的P，I的S与P，O的S，均称为不周延的名词。兹特表列如下：
主词 宾词
SAP 周 延 不周延
SIP 不周延 不周延
SOP 不周延 周 延
SEP 周 延 周 延
周延与不周延在三段论式中非常之重要，它的规律与推论一大部分根据于名词的周延与否。
3. 三段论式中的大词中词小词一共有四个不同的摆法，每一摆法称为一“格”，例如：
每一格中有若干“式”例如AAA。（大前提，小前提，结论均为A命题）。
B. 三段论式的规律
1. 教科书所列规律如下：
a. 在一三段论式中，不但有而且只有三名词，即大词、中词与小词；不但有而且只有三个命题，即大前提、小前提与结论。（这可以把它当作定义看待。）
b. 中词在两前提中至少要周延一次。
（一）这条规律很要紧。中词是两前提的媒介，如中词在两前提中无一次周延，则大词，可以与中词之一部分发生关系，而小词则与中词之另一部分发生关系。
（二）如没有（b）条的情形，则大词与小词的关系不能定，此关系不定，则不能得结论，因为结论不过表示大词与小词，因中词之媒介，所得之关系而已。
（三）例：所有的狗都是动物
所有的人都是动物此例中“动物”为中词，可是既未周延，狗可以是动物的一部分，而人可以是“动物”的又一部分，狗与人的关系在这两命题范围之内不能因中词而定。
c. 在前提中未周延之名词在结论中亦不得周延。
（一）在前提中周延之名词，在结论中可以不周延。这一层在教科书中是如此的；可是如果命题的解释改变后，此一层亦因之而有相当的改变。
（二）大词周延的错误。如大词在前提中不周延，而在结论中周延，则有大词周延之错误。兹以下例表示：
所有有理性的人均负责任
有些公民不是有理性的人
∴有些公民不负责任
此例中的结论或者是一句真话，可是不是对的结论，因为大前提只说有理性的人负责，没有说无理性的人不负责。
（三）小词周延的错误、意义、情形，均与（二）条相同，亦不能得结论。
d. 两否定前提不能得结论。这一条规律，若从关系方面讲，非常之清楚，以后提及。现在我们仅说如果两前提都是否定命题，则大词与小词两名词均与中词无关，它们彼此的关系不能定。此关系既不能定，当然无结论。
e. 如果两前提中一前提为否定命题，则结论亦为否定命题；如结论是否定命题，则两前提中亦必有一否定命题。如果我们认定两肯定的前提，其结论亦为肯定，两否定的前提没有结论，同时结论为肯定，两前提必均为肯定，则此条规律为必然的结果。
f. 两特称前提不能得结论。此条不必提出，它可以由以上的规律推论出来。
（一）如两特称前提为肯定命题，则中词不周延不能得结论。
（二）如两特称前提为否定命题，则违第四条规律。
（三）如两特称前提中有一肯定一否定，则结论为否定命题。两前提仅有一词周延，而此周延之名词须为中词；结论既为否定命题，亦必有一周延名词。结果是大词周延错误，或中词不周延错误，其中必有其一。
g. 如两前提中一为特称，则结论亦为特称。可是我们须注意两全称的前提不必得一全称的结论。那就是说如果结论是特称，两前提中不必有一为特称。
2. 对于这些规律，我们可以注意以下诸点：
a. 数目不必如此之大。有些规律如第六条可以完全由此前规律推论出来。有人以为只要一根本的原则即够，而此根本原则即亚里士多德的“dictum de omni et nullo”。此原则说，凡能形容一命题之宾词者亦均能形容其主词。但这似谈到原则问题，而不仅只规律而已。
b. 这些规律都是普遍的，无分于三段论式之格与式。谈到格时又有各格的规律。
c. 有些规律可以图形表示，例如以圈代表大、中、小词P、M、S。
（一）两否定前提不能得结论。
MEP
这两命题可以有以下可能：
此表示SEP
此表示SIP或SOP
此表示SAP
此表示PAS或SIP
此表示S与P相同
（二）两特称命题不能得结论，例如：
MIP
这两命题可以有以下可能：
此表示SEP
此表示SIP
此表示SAP
此表示PAS或SIP
此表示P与S相同
此处所谓不能得结论者，是不能得三段论式的结论。
C. 三段论式之四格
上面已经说过，所谓格者是由两前提中大、中、小词之位置而定。简单一点是由中词之位置而定。格共有四，兹特分别讨论。
1. 第一格。
a. 此格之形式如下：（仍以P代表大词，M代表中词，S代表小词。）
M——P
S——P
我们在此处要特别注意，每格的特别规律完全根据于一格的形式，完全根据于大词、中词、小词之位置。如果初学者把以上普遍的规律记清楚，他一定用不着记各格的规律，他看一格的形式，他就可以推出那一格规律来。若不注意各格的形式，死记各格的规律，一方面规律记不清楚，另一方面又不能得到逻辑的训练。
b. 第一格的规律：
（一）小前提一定是肯定命题；
（二）大前提一定是全称命题。
c. 证明：
（一）小前提一定是肯定命题。如果不是，则根据以上第五条规律结论亦为否定命题；如果结论为否定命题，则大词既为结论之宾词，必为周延（因否定命题，O或E之宾词均周延）；如果大词在结论中周延，则根据第三条规律，在大前提中亦必周延；但在此格大词在前提中为宾词，所以如果大词周延，则大前提必为否定命题，结果是如果小前提为否定，则大前提亦必为否定；但根据第四条规律两否定命题不能得结论，所以小前提不能为否定命题。
（二）大前提一定是全称命题。如果不是，那就是说如果是特称命题，则中词在大前提中既为主词，必不周延，因为特称命题之主词均不周延，中词在大前提中既不周延，则根据第二条规律，在小前提中必须周延；但中词在小前提中为宾词，如果周延，则小前提之宾词既周延，小前提必为否定命题；如果小前提为否定命题，则……同上。所以大前提必须全称。简单一点的说法：小前提既必须肯定，则在小前提之中词必不周延；照第二条规律，中词既必须周延一次，则在大前提之中词必须周延；但在此格之大前提，中词为主词，所以大前提必须全称，因为全称命题之主词周延。
2. 第二格。
a. 形式：
b. 规律：（因大、中、小词之位置不同，规律亦异。）
（一）两前提中必有一前提为否定命题；
（二）大前提必有全称命题。
c. 证明：
（一）两前提中必有一前提为否定命题。在此格中，中词在前提中均为宾词，而根据第二条规律，中词至少要周延一次；如果两前提均为肯定命题，则中词不得周延，因为肯定命题之宾词，无论A与I，均不周延；中词不周延，不能得结论；同时根据第四条规律，两否定命题不能得结论；所以在此格中，两前提中必有而且仅能有一前提为否定命题。
（二）大前提必为全称命题。如果两前提中必有一否定命题，则根据第五条规律结论必为否定命题；如结论为否定命题，则大词即结论之宾词，必为周延；如果大词在结论中周延，在大前提亦必周延（第三条规律）；如大词在大前提周延，而在此格大词为大前提之主词，则大前提必为全称，因为只有全称命题的主词周延。
3. 第三格。
a. 形式：
b. 规律：
（一）小前提必为肯定命题；
（二）结论必为特称。
c. 证明：
（一）小前提必为肯定命题。这里的推论与第一格一样，可以从简。如果小前提为否定，则结论为否定；如结论为否定，则宾词周延；如宾词，即大词，在结论周延，则在大前提亦周延；如大词，在此格为宾词，在大前提周延，则大前提必为否定命题；如是两前提均为否定命题，不能得结论，所以小前提必须肯定。
（二）结论必为特称。如果小前提必须肯定，则小前提的宾词不周延；如果小前提之宾词，即小词，在小前提中不周延，在结论中亦不得周延（第三条规律）；小词在结论中为主词，主词不周延，则结论必为特称，因为仅特称命题的主词不周延。
4. 第四格。
a. 形式：
b. 规律：
（一）如两前提中有一为否定命题，则大前提为全称命题；
（二）如大前提为肯定命题，则小前提为全称命题；
（三）如小前提为肯定命题，则结论为特称。
c. 证明：
（一）如两前提中有一为否定命题，则大前提为全称。如前提中有一为否定命题，则结论亦为否定命题；如结论为否定命题，则宾词周延；宾词为大词，如大词在结论中周延，在大前提中亦必周延；但大词在此格为大前提之主词，主词周延，必为全称命题。所以如两前提中有一否定命题，则大前提必为全称。
（二）如大前提为肯定命题，则小前提为全称。如大前提为肯定命题，则宾词不周延；大前提之宾词为中词，中词必须周延一次，如在大前提中不周延，在小前提中必须周延；但中词在此格为小前提之主词，主词周延，则小前提必为全称。所以如大前提肯定，则小前提全称。
（三）如小前提肯定，则结论为特称。如小前提肯定，则宾词不周延；可是宾词为小词，所以是结论之主词，小词在前提中不周延，在结论中亦不得周延；结论的主词不周延，则结论必为特称，因只有特称命题的主词不周延。
D. 以上四格根据于中词在前提之位置
中词在前提中仅有此四种不同的位置，所以只能有此四格。历来对于此四格，有各种讨论发生。例如，四格之中哪一格为最“上”，而答案大都是以第一格为最“上”。又如，第四格是否可以说得通？关于第四格，问题比较多。此处仅用约翰生（John son）先生的方法表示第四格之特别，也因此表示前三格的规律可以另外方法表示出来。
兹以S代表三命题中二次为主词的名词，P代表三命题中二次为宾词的名词，C代表三命题中一次为主词，一次为宾词的名词。根本原则：（一）要包含两次为主词两次为宾词的那两个名词的命题——“S——P”——能成任何命题。这就是说要使S——P这一命题能为A或E或I或O，毫无限制。（二）对于包含S与C的那一命题——“S——C”——问质不问量。S即为主词，而主词之周延与否以量定而不以质定（全称的主词，总是周延；特称的主词，总是不周延），若定S——C之量是限制“S——P”之量。所以对于S——C只能问质。（三）对于包含C与P的那一命题——“C——P”——问量不问质。P既为宾词，而宾词之周延与否以质定不以量定（否定的宾词，总是周延；肯定的宾词，总是不周延），若定P之质等于限制“S——P”之质。
a. 规律：
（一）小前提须肯定。
（二）大前提须全称。
b. 证明：
（一）小前提须肯定。在此格小前提为“S——C”命题，对于此命题问质不问量。小前提必须肯定，不然“S——P”一命题必为否定，“S——P”必须否定，则在质一方面不能不受限制，有违根本原则。所以小前提必须肯定，“S——P”才能不受质方面的限制。
（二）大前提必须全称。在此格大前提为“C——P”这一命题，而对于这一命题问量不问质。大前提必须全称，因为如果特称，则结论必为特称，那就是说“S——P”必为特称，而“S——P”受量的限制。为使“S——P”不受量的限制起见，大前提必须全称。
a. 为使“S——P”毫无限制起见，可有以下规律：
（一）结论必为否定；
（二）大前提必为全称。
b. 证明：
（一）结论必为否定。结论在此格为“S——C”这一命题，对于此命题问质不问量。从质方面着想，“S——C”应该是否定命题，因为如果肯定则前提均须肯定，而“S——P”既为小前提亦必须肯定。为使小前提“S——P”既可以肯定也可以否定起见，“S——C”这结论必为否定。这等于说两前提中必有一前提为否定命题。
（二）大前提必须全称。此格的大前提为“C——P”这一命题，而对于此一命题问量不问质。大前提“C——P”须全称，因为如果是特称，则根据两特称不能得结论的规律，小前提“S——P”这一命题非全称不可。如是则“S——P”在量的方面受限制。为使“S——P”在量的方面不受限制起见，大前提必须全称。
a. 此处为使大前提“S——P”毫无限制起见，可有以下规律：
（一）结论必须特称；
（二）小前提必须肯定。
b. 证明：
（一）结论必须特称。此处的结论为“C——P”这一命题。对于此问题问量不问质。结论须为特称，因为非特称，则两前提必须全称，“S——P”既为大前提亦必须为全称，如须全称则量受限制。为使大前提“S——P”不受量的限制起见，结论“C——P”非特称不可。
（二）小前提必须肯定。小前提在此处为“S——C”这一命题，而对于此命题问质不问量。“S——C”这小前提必须肯定，因为如果非肯定，而为否定，则大前提不能为否定而必须为肯定，因为两前提不能同为否定。为使大前提可以肯定又可以否定起见，小前提“S——C”不能不是肯定。
4. 以上一、二、三格在此处的说法条件之下，其规律与以先说法完全一致。证明的方法当然不同，但这不过是因为说法根本不同。第四格的情形与以上三格均不同，第四格不能满足新说法的根本条件。新说法根本条件之一就是“S”代表两次为主词的名词，“P”代表两次为宾词的名词，而“C”代表一次为主词一次为宾词的名词。第四格的形式既为：
根本就没有两次为主词的名称，也没有两次为宾词的名称，所以第四格根本就不合新说法的条件，这也表示第四格至少有特别的情形。这个新说法有以下诸点值得我们注意：
a. 表示第一、二、三格的规律不必以传统的方法证明，可以用新说法表示同样的情形。
b. 表示第四格与其他各格不同。
c. 表示以下所要讨论的“式”的特殊情形。第一、二、三格各格的式均有特殊的情形，这一层下段再说。
E. 各格所有之式
所谓“式”者即A、E、I、O四种命题在两前提一结论中之各种不同的配合法。例如AAA即表示两前提一结论均为A命题。
1. 各种不同的配合的总数——A、E、I、O四个命题分配作大小两前提与结论之总数为以下六十四式：
AAA AEA AIA AOA
EAA EEA EIA EOA
IAA IEA IIA IOA
OAA OEA OIA OOA
AAE AEE AIE AOE
EAE EEE EIE EOE
IAE IEE IIE IOE
OAE OEE OIE OOE
AAI AEI AII AOI
EAI EEI EII EOI
IAI IEI III IOI
OAI OEI OII OOI
AAO AEO AIO AOO
EAO EEO EIO EOO
IAO IEO IIO IOO
OAO OEO OIO OOO
2. 但此六十四配合中有好些为普遍的三段论式规律所不能承认的，例如II、OO、EE等。从能得结论的前提方面着想，这六十四配合之中，只有以下的前提才能得结论：
此处除开两特称与两否定的前提。照此似有三十六可能，但仍有限制。例如AAA虽可，而AAE则违规律。
3. 三段论式既分为四格，而各格又有各格之规律，则此三十六配合之中仍有不能得结论者。例如，IE虽不违通常的原则，但不合任何一格的特别规律，所以也不能认为是可以得结论的两前提。在此种种限制之下，可能的式仅有以下十九个：
a. 第一格有四可能：
AAA，EAE，AII，EIO。
（一）请注意：大前提均全称，
小前提均肯定。
（二）请注意：结论可以是A、E、I或O；那就是照以上第二说法所表示的，结论在第一格质与量均无限制。
b. 第二格有四可能：
EAE，AEE，EIO，AOO。
（一）请注意：两前提中有一为否定命题，大前提均为全称。
（二）请注意：小前提在第二格可以是A、E、I或O；那就是说照以上新说法，小前提的质与量毫无限制。
c. 第三格有六可能：
AAI，IAI，AII，EAO，OAO，EIO。
（一）请注意：小前提均为肯定，结论均特称。
（二）请注意：大前提在此格可以是A、E、I或O；那也就是以上新说法所说的，质与量毫无限制的命题。
d. 第四格有五可能：
AAI，AEE，IAI，EAO，EIO。
（一）请注意：如两前提中有否定命题，大前提为全称；
如大前提为肯定命题，则小前提为全称；
如小前提为肯定命题，则结论为特称。
4. 三段论之四格既发生哪一格最靠得住的问题，每格的各式也有哪些式最靠得住的问题。第一格既视为最靠得住，其余各格的式也要想法子把它们变成第一格的式才行。变更的方法不一，可是在本书内我们可以不必谈到。在中古的经院学者，把以上各式都用特别的名字代表，编为诗歌，把各种更换的方法容纳在内；如果把这诗记清楚，则这一部分的逻辑也就记清楚。我们用不着记这许多的式，即能记清楚，对于逻辑的训练也不见得有多大的益处，这一部分的逻辑本书亦不提及。
F. 堆垛式及其他推论
1. 简略的推论。所谓简略的推论者：a. 或者是不提大前提，仅提小前提与结论；b. 或者不提小前提，仅提大前提与结论；c. 或者不提结论，仅提大小两前提的推论。这当然是根据于三段论，不过在形式方面看来没有三个命题而已。
这种简略的推论，实是修辞方面、文学方面的技术，它使人动听，使人惊异；虽然根据于三段论式法，虽然表示三段论式在实际上之引用，而不容易视为逻辑的一部分。其所以曾经当作逻辑一部分者，因为传统逻辑没有把形式与实质分别清楚而已。兹特举例如下：
a. 不提大前提，如：“孔子是人，他也不免一死”。
b. 不提小前提，如：“所有的人既然都好色，他也好色”。
c. 不提结论，如：“杀人者死，而他杀了人”。
2. 前后三段论式。前后三段论式不过是两个三段论连在一块，以头一个三段论的结论为第二个三段论的大前提。兹特举例如下：
∴所有的D是A
前一部即为前三段论，后一部即为后三段论。这种前后三段论可以有两种不同的方向。一种是由相对普遍的到相对不普遍的，一种是由相对不普遍的到相对普遍的。这不过使读者知道有此说法而已。
3. 堆垛推论。所谓堆垛推论者（sorites，从张申府先生所用名词）即一大堆的三段论，省去各段的结论，仅提出总结论的推论。堆垛推论有两种：
a. 甲种如下例：
∴所有的A是E
b. 乙种如下例：
所有的A是B
∴所有的E是B
这两种堆垛推论都是一大堆的第一格式的三段论，所以它们都须遵守第一格的规律。
c. 甲种的规律如下：
（一）第一前提可以是特称，其余均须全称。
（二）最后的前提可以是否定，其他均须肯定。其实这两条规律就是第一格的规律。兹特将以上甲例分为三段论如下：
以上都是第一格的三段论，都应遵守第一格的规律，（一）大前提须全称，（二）小前提须肯定。甲种堆垛推论中只有第一前提是小前提，它必须是肯定命题；但既为小前提，它可以是全称，也可以是特称。甲种堆垛推论中之其他前提均为大前提，大前提须全称，所以它们不能特称。甲种堆垛推论的第一条规律，完全是第一格的规律。甲种堆垛推论的其他小前提，均为未曾以明文提出的各三段论的结论；如果任何非最后的前提是否定命题，则这些未曾以明文提出的小前提之中亦定有否定命题，小前提在第一格只能肯定不能否定，所以只有最后一前提才能否定。这也是遵守第一格的规律。
d. 乙种堆垛推论有同样的情形，它的规律如下：
（一）第一前提可以是否定命题，其他均须肯定。
（二）最后前提可以是特称，其他均须全称。
兹特将以上乙例分为三个三段论如下：
乙种的规律更显而易见是第一格的规律。只有第一前提是大前提，其余都是小前提。第一前提当然不能特称，可是可以是否定命题，其他前提既均为小前提，在第一格三段论中当然不能否定。同时只有最后前提可以特称，因为如果任何其他前提为特称，则各段的结论之中必有一特称命题，但各段的结论均为大前提，它们均不能特称，所以只有最后前提能特称。
4. 例外的推论。此处所谓例外者是不守三段论式的规律，而同时又靠得住的推论。这一种以上提出三段论式的定义时，已经提及。例如：
此推论有三命题，并且是靠得住的推论；但在三段论的范围之内，它是例外，因为（一）它不是主宾词式的命题，（二）如果把它当作主宾词命题则它有四名词如下：A、比B长、B、比C长。以后我们要表示这类的推论不是例外，如果我们提出普遍的三段论或普遍的传递关系的推论，它与传统的三段论的位置一样。其他守规则与不守规则的问题，有推论与无推论的问题等等，或者在详细分析之下不成问题，或者即有问题也不见得是逻辑方面的问题。凡此种种，本书均不提及。