三、类与关系的推演
本章分两节，A节为类的推演，B节为关系的推演。A节分1、2两段，1段为普遍的具类词的命题，2段为类的推算；B节也分1、2两段，1段为普遍的具关系词的命题，2段为关系的推算。本章的各段不过选出原书中几个命题而已。
A. 类的推演
本节的1段承上接下，介绍具类词的命题；2段为类的推算。所谓类的推算者就是近代符号逻辑新兴时期的calculus of classes。
1. 普遍的具类词的命题。
本段的命题可以分为三组。第一组表示类的基本质，第二组是具类词而同时又具叙述词的命题，第三组的命题表示“类”与个体有同样的质。本段的各命题既大都有注解，各组命题无另条表示的需要。
（具类词的命题表示定那一类的命题函量的外延质。它的真假值根据于定类的命题函量的外延，而不根据于引用那一命题函量为定类的命题函量。）
（这三命题成一套，而最后这一命题总结前两命题。它表示只有两真假值相等的命题函量才定一类。那就是说，两命题函量的真假值不相等，它们所定的类是两类。所谓命题函量的真假值相等者，就是说满足第一命题函量的个体就是满足第二命题函量的个体。这是类的根本条件。)
（如果两类相等，则此两类中任何一类有一性质，另一类亦有之。）
（这三命题中第一命题表示类的相同有自反质，第二命题表示类的相同有对称质，第三命题表示类的相同有传递质。但这三命题不是直接从第二章C节2段的13.15，13.16，13.17推论出来的。不是fx的值，那就是说，x不指这样的东西，而也不是x=y的例。）
（任何类A是满足φz的个体，同时也是满足ψz的个体，此两命题函量所定的类是一类。）
（此命题表示只有ψx是真的，x才是ψx所定的类的分子，“ ”代表“是分子”，这是个体与个体的类的关系。它不是包含关系，它没有传递质。从这一方面着想，“所有的人都是有理性的，所有的圣贤都是人，所以所有的圣贤都是有理性的”与“所有的人都是有理性的，孔子是人，所以孔子是有理性的”这两个三段论的形式根本不同。）
（两类相同等于说任何x属于头一类就是说它属于第二类。总而言之，对于类所注重的是外延。）
（x与y相同等于说x属于任何类就是说y属于该类。此命题与20.25那一命题一样把类词用为表面任指词。）
（此命题与20.31一样，只不过A、B，这样的符号简单而已。）
（这个命题不仅是具类词的命题，而且是具叙述词的命题。举例来说：《春秋》的作者属于人类等于说《春秋》的作者是人。以φ代表作《春秋》，（τx）（φx）就代表《春秋》的作者；以ψz代表z是人，z^（ψx）就代表满足ψz这命题函量的个体，那就是说人类，而此命题的前一部分就是说《春秋》的作者是人类的分子；此命题的后一部分说《春秋》的作者是人。）
（设以b代表孔子，（τx）（φx）仍代表《春秋》的作者；这个命题说《春秋》的作者是孔子等于说《春秋》的作者是任何一类（A）的分子，就是说孔子是那一类的分子。）
（仍以举例表示：有《原富》的作者就是说有某个体，说《原富》的作者属于一类等于说那个体属于那一类。）
（这里表示不仅有叙述个体的词，而且有叙述类的词。（τA）（fA）这符号与（τx）（φx）那一符号有同样情形，不过事实上的例比较困难一点而已。第三组表示类与个体有同样情形的命题，本书不抄。）
2. 类的推算（calculus of classes）。
a. 在本书第四部的第一章A节里，有一系统通式。那个系统通式可以有各种不同的解释。如果我们以类去解释那个系统通式，我们所得的就是这里的类的推算。如果我们以命题去解释那系统通式，我们所得的就是本书第三部的第一章。
经解释后，那个系统通式，所有的基本命题，在此处大都能证明；其所以如此者，因为这些基本命题所表示的道理，前此已经承认。
这里的类的推算未开始之前，就有好几个定义，可是我们不必抄写，因为定义既下，跟着就有好几个命题把这些定义都容纳在里面。
b. 所选择的命题。
的定义就是本命题的后部。这符号可以读成“A类包含在B类之中”。这命题说：A类包含在B类等于说如果任何个体属于A类，则那一个体属于B类。在P. M. 的程序中，作者利用命题的蕴涵以表示类的包含关系。）
的定义就是本命题的后一部分。这符号可以读成“既是A又是B的类”。满足“x既属于A又属于B”这一命题函量的“x个体”就是类。）
（情形同上，不过改“与”为“或”而已。）
（“—A”即非A类。非A类就是满足“x不属于A类”这一命题函量的个体。这里利用否定命题以表示负类。）
（“A—B”可以读成A类与非B类，或既A而又非B类。有定义说A—B就是。）
（这命题说：说x属于既A又B类等于说x既属于A类又属于B类。）
（这命题说：说x属于或A或B类等于说x属于A类或者x属于B类。“或”与“与”的情形在此处一致。）
（这个命题表示，说x属于非A类等于说x不属于A类。这样一来，命题的“不”与类的“非”完全一致。）
（非A类不是A类或非A类与A类不是一类。P. M. 以后用这个命题证明至少有两类存在，而“至少有两类存在”这一命题就是本书在第四部第一章所举的那个系统通式中经解释后的一命题。这一命题本书不预备抄下，仅在此处提及而已。）
是类，是类。这两个命题就是方才所说的那系统通式中经解释后起头的两个命题。“Cls”这符号代表类。）
（这里表示非A是类。）
（说A类包含在B类而B类又包含在A类，就是说任何x是A类的分子等于说它是B类的分子。两类互相包含，则实同，所谓实同者就是说它们的外延完全一样。）
（这与以上命题一样，不过直接表示两互相包含的类相同，而没有说它们的分子而已。）
（任何类包含自己。这与“p p”相似。）
（既A又B的类包含在A类。或许有人感觉这命题奇怪。如果有人以为是A、B两类之“和”而“和”又是两类相加的意思，那么不会包含在A类。但为“既A又B”类——例如有理性的动物类，其分子当然都是有理性类的分子，也当然都是动物类的分子——而“既A又B”类不能不包含在A类，也不能不包含在B类。）
（这命题说：如果A类包含在B类，B类包含在C类，则A类包含在C类。这也是三段论。如果把写在的前面，这命题可以解作传统逻辑中的“barbara”。）
（这也是三段论。可是与上面不同的地方就是这里的不是类与类包含的关系，而是个体与类的关系。“ ”无传递质而有传递质。这个命题与以上那个命题应该有明文的分别。）
（说A类包含在B类，A类也包含在C类，等于说A包含在既B又C类。）
（这就是22.441那一命题，不过把前件的秩序变更而已。）
（如果A类包含在C类，则既A又B类包含在C类。这个命题参考22.43就能够清楚。）
（如果A类包含在B类，则既A且C类包含在既B且C类；如果A类等于B类，则既A且C类等于既B且C类。读者请举例即明。）
（如果A类包含在B类，C类包含在D类，则既A且C类包含在既B且D类。读者请举例。）
（既A而又A类等于A类。这里表示“既是人而又是人，其结果还是人”。一方面类的“和”与数的“相乘”不同，另一方面与中文文字的一部分的习惯不要相混。风风雨雨的意思不仅止于风雨，但逻辑上既A而又A的类还是A 类。）
（这两命题都是第四部第一章那个系统通式中的原则。第一命题表示A与B两类的“与”，它们彼此的位置可以掉换。第二命题表示A、B、C三类的“与”，把任何两类视为一类与其余一类的相与等于把任何其他两类视为一类与其余的一类的相与。）
（如果A类等于B类，则说A类包含在C类等于说B类包含在C类。）
（如果A类等于B类，则说C类包含在A类等于说C类包含在B类。）
（如果A类等于B类，则或A或C类等于或B或C类。）
（22.5那一命题说既A而又A类是A类，22.56这一命题说A或A类是A类。逻辑上的“与”与数学上的“乘”，逻辑上的“或”与数学上的“加”都不同。）
（这一命题表示A、B两类的“和”，彼此的位置可以掉换。）
（A类包含在A或B类，B类包含在A或B类。这是显而易见，因为A或B类可以包含三类：1，A类；2，B类；3，既A而又B类。）
（说A类包含在C类，而B类也包含在C类，等于说A或B类包含在C类。在此处我们要注意说A包含在B类，或A包含在C类，不等于说A类包含在B或C类；那就是说，
是假的。虽是真命题，那就是说，如果A类包含在B类，或者A类包含在C类，则A类包含在B或C类；而
是假的，那就是说，如果A类包含在B或C类，不一定A类就包含在B类或者A类就包含在C类。读者可以用图形表示这里所说的道理。）
（说x是A或B类的分子等于说无论C是什么类，如果A类包含在C类，而B类也包含在C类，则x是C类的分子。）
（这是显而易见的道理，读者或以语言或以图形表示均可。）
（这也是显而易见的道理，以图形表示非常之容易。）
（这与以上成一对，而这一对命题表示“或”与“与”的分别。）
（这命题在语言方面颇麻烦，用图形很容易表示。）
（这与22.63那一命题也成一对，读者自己设法表示。）
（如果A类等于B类，则A类等于既A而又B类。可是反过来说不通。如果A类等于既A又B类，A类固可以等于B类，但也可以包含在B类。）
（如果A类包含在B类，则A或C类就是既A又B类或C类。）
（如果A类包含在C类或B类包含在C类，则既A又B类包含在C类。既A又B类是A类的一部分，它也是B类的一部分，所以无论前件两条件中哪一条件是真，后件总是真。可是反过来说不通。如果既A又B类包含在C类，非B的A类不必包含在C类，非A的B类不必包含在C类。）
（此命题在22.59已经讨论过，此处不赘。）
（这是显而易见的道理，读者以图表示之即明。）
（这两命题成一对。用语言表示不如用图形表示。兹以前一命题为例：前部以甲、乙、丙三图表示之，后部以（一）（二）（三）图表示之。以下丙图与（三）图表示同一的类。22.69那一命题可以用类似的方法表示。）
（这与22.52那一命题成对。三类的和，把任何两类的和视为一类与其余一类相和，等于把任其他两类的和视为一类与其余一类相和。以语言表示此命题似乎很难听，还是用图形好。）
（这两命题很容易明白，读者自备方法表示。）
（说既A又B类包含在C类，而既A又C类又包含在B类，等于说既A又B类就是既A又C类。以图形表示更容易。）
（非非A类就是A类，在类方面再负为正好像在命题方面再假为真一样。）
（说A类包含在B类等于说非B类包含在非A类。混沌一点地说，说所有的A都是B等于说所有的非B都是非A。）
（说既A又B类包含在C类，等于说既A又非C类包含在非B类。）
（说A类等于B类等于说非A类等于非B类。）
（这四个命题名为De Morgan公式。它们都表示“与”与“或”的关系。兹以语言表示第一命题即够：“非既A又B类等于非A或非B类。”兹以下图表示：
图中“非1”等于“或2或3或4”。但“或2或3或4”就是“非A或非B”，因为“非A或非B类”中的“或”既为相容的或，这一类所包含的可能共有以下三类，即A而非B，B而非A，既非A而又非B；换言之，即图中的“或2或 3或 4”。）
（这就是说任何个体是A或非A类的分子。无论x是什么个体，它不是A类的分子，就是非A类的分子，同时不是非A类的分子，就是A类的分子。这是排中律的一种表示。）
（这就是说任何x不是既A而又非A类的分子。这是矛盾律的一种说法。）
（在语言方面，颇不易表示。图形表示毫无问题。）
（在语言方面有以上所说的情形。）
（如果A类包含在B类，则B类等于A类或非A的B类。如果A类包含在B类，则B类可以分作两部分，一是既A又B类，二是B而非A类。无论第二类存在与否，B类总是第一类或第二类。）
在语言方面有困难，不易表示。图形表示无问题。）
B. 关系的推演
本节与A节一样，分为两段：1段介绍具关系词的命题；2段为关系的推算。所谓关系的推算者就是英文中的calculus of relations。
1. 普遍的具关系词的命题。
本段的命题与A节的1段一样。本系统所注重的类是外延的类，本系统所注重的关系是外延的关系。类是满足φx这样命题函量的个体，关系是满足φ（x，y）这样命题函量的个体。类是这符号所表示的东西，关系是这样符号所表示的东西。具类词的命题其形式为，具关系词的命题其形式为）。
以下所举的具关系词的命题，在原书中排列在类的推算之前，所以命题以号数为“21.”而非“23.”。这些命题也可以分为三组，但我们不必有明文的表示。本段所选择的命题如下：
（具关系词的命题表示定那一关系的命题函量的外延质。它的真假值根据命题函量的外延，而不根据于引用那一命题函量为定关系的命题函量。）
（这三个命题成一套，最后一命题总结前两命题。它表示只有两真假值相等的命题函量才定同一的关系。两命题函量的真假值不相等，它们所定的关系是两关系。所谓命题函量的真假值相等者，就是说满足第一命题函量的个体就是满足第二命题函量的个体。注重关系的外延，这是根本条件。）
（如果两关系相等，则此两关系中任何一关系有任何质，另一关系亦有之。）
（这三个命题成一组，第一命题表示关系的相同有自反质，第二命题表示它有对称质，第三命题表示它有传递质。关系的相同与类的相同一样，这三个命题不是从第二章 C 节 2 段的 13.15、13.16、13.17 直接推论出来的。f（x^ y^ φ（x，y））既不是 fx 的值，也不是 x=y 的例。）
（这两命题与以上21.22那一命题也可以成一套。它们都表示与一共同关系相同的两关系彼此也相同。）
这符号表示 x 与 y 有 ψ（x，y）这一命题函量所定的关系。这命题表示只有ψ（x，y）是真的，x与y才有ψ（x，y）所定的关系。）
（两关系相等等于说任何（x，y）有头一关系等于说它们也有第二关系。这就是说，要有后一部分所说的满足情形，两关系才相等。）
（以R代替，当然便利得多。谈关系而不必提到定那关系的命题函量的时候，复杂的符号如均可以用简单的R代替。在任何（x，y）有R关系等于φ（x，y）是真的条件之下，R是φ（x，y）这命题函量所定的关系。）
（如果说任何x与任何y有R的关系等于说它们有S的关系，则R与S两关系相等；如果R与S两关系相等，则说任何x与任何y有R关系等于说它们有S关系。）
（说任何关系S与R相等，则说它就是φ等于说R是φ。要举实例，比较麻烦。请注意这里的（S）表示关系也可以有表面任指词。在这一点上，个体、类、关系也有一致的情形。）
（有等于R的S关系而它是φ等于说R关系是φ。这命题与以上那个命题成一对。）
（此处的命题用一句话讲本来是不容易的事，而这一命题似乎更难。意思大约可以有以下的表示：说任何（x，y）有R关系等于说φ（x，y），这里所说的这个R关系就是φ（x，y）命题函量的（x，y）。
（这个命题不过是说有以上21.55所叙述的R关系。这两个命题都以关系为叙述词。）
（满足一命题函量的个体就是与它相等的那关系。）
（这命题的前后两部分的关系与传统逻辑中的I与E的关系相似。有是f的R关系等于说“无是f的R关系”是假的。）
2. 关系的推算（calculus of relations）。
a. 这一段的命题与类的推算那一段的命题相似。类的推算可以说第四部第一章的那系统通式的解释，关系的推算也可以作如此看法。这里的关系是外延的关系，以上21.58那一命题就表示本系统的关系是外延的关系。所谓关系的推算者是说这里的这个推算中的原子。
推算未开始之前，就已有好几个定义；可是这里的情形与类的推算的情形相似；我们不必抄写定义，因为定义既下，跟着就有好几个命题把这些定义都容纳在内。
b. 所选择的命题。
（这里关系间的 与类间的、命题间的相似。命题间的我们读为“蕴涵”。类间的我们读为“包含在”，可是关系间的，我们不知道如何读法好。符号方面的定义已经容纳在这一命题之中。如果我们把读作包含在，这一命题说R关系包含在S关系之中，等于说如果任何x与y有R关系，它们就有S关系。P. M. 的作者也是利用命题方面的去表示关系方面的。）
（关系间的与类间的、命题间的“·”相似。这似乎也可以用“与”“和”“同”“既……又”等等字眼去表示。它的定义就是本命题的后一部分。这里也是用命题方面的“·”去表示关系方面的。这命题也表示这里的关系是外延的关系。
（关系间的与类间的、命题间的相似。这似乎也可以用“或”表示，它的定义就是这命题的后一部分。关系方面的也是用命题方面的“ ”去表示。）
（关系方面的“ ”与类方面的“—”、命题方面的“～”相似。“”的定义就是本命题的后一部分，而这定义也就是利用命题方面的“～”去表示关系方面的。）
（是R关系而不是S关系就是满足“xRy是真的而xSy是假的”这一命题函量的（x，y）。我们要清楚，这里的R关系就是有R关系的（x，y），那就是说R的外延。）
（x与y有R与S的关系，等于说x与y有R关系，而且x与y有S的关系。）
（x与y有R或S的关系，等于说x与y有R关系或者x与y有S的关系。这一对命题表示关系间的“或”与“与”等于具相当形式的命题间的“或”与“与”。）
（如果我们把读为“非”，这个命题说x与y有非R的关系，等于说x与y有R关系是假的。）
（非R关系不是R关系。22.351那一命题说非A类不是A类。P. M. 用那一命题证明至少有两类，我们似乎也可以利用这里这个命题证明至少有两关系。）
（“Rel”这符号表示关系。这两个命题无非是表示与都是关系。如果我们把关系视为第四部第一章那个系统通式的原子，这两个命题就是那系统的最初两个基本命题。）
（这个命题表示非R也是关系。）
（说R关系包含在S关系而S关系又包含在R关系，等于说任何x，y有R关系等于说它们有S关系。两关系互相包含，则它们的外延一样。）
（这与以上一样，它不过直接表示两互相包含的关系相等，没有提到分子问题。）
（任何关系包含它自己，这与命题方面的”、类方面的相似。）
（这与类方面的那一命题相似。在那一命题注解下所说的话这里也可以说。）
（这命题说如果R关系包含在S关系，S关系包含在T关系，则R关系包含在T关系。这是关系方面的三段论。三段论不限于命题，也不限于类。例如：如果x是y的学生，x就比y年轻；x比y年轻，x就是y的后辈；则x是y的学生，x就是y的后辈。）
（如果R关系包含在S关系，而x与y有R关系，则x与y有S关系。读者自己举例。）
（如果R关系包含在S关系，而又包含在T关系，则R关系包含在既S而又T的关系。此命题仅表示“如果……则”的关系，其实前件与后件的真假值相等。）
（这就是23.441那一命题，不过前件中的两命题的位置彼此更换而已。）
（如果R关系包含在T关系，则既R而又S的关系包含在T关系。这个命题可以利用23.43那一命题及三段论来证明。例如：
此处及以前的命题，读者均可以自己设法证明以为训练。）
（如果R关系包含在S关系，则既R而又T的关系包含在既S而又T的关系。如果R关系与S关系相等，则既R而又T的关系等于既S而又T的关系。读者或举例或证明。）
（如果P关系包含在Q关系，而R包含在S关系，则既P而又R的关系包含在既Q而又S的关系。）
（既R而又R的关系就是R关系。x既在y的左边，而又在y的左边，其结果仍是x在y的左边。）
（第一命题表示两关系的相“与”，与两类的相“与”一样，不受它们的位置更换的影响。第二命题表示三关系的相“与”，把任何两关系视为一组，等于把任何其他任何两关系视为一组。）
（如果R关系等于S关系，则说R关系包含在T关系，等于说S关系包含在T关系。）
（如果R关系等于S关系，则说T关系包含在R关系，等于说T关系包含在S关系。）
（如果R关系等于S关系，则或R或T的关系等于或S或T的关系。）
（23.5说既R而又R的关系就是R关系，此命题说R或R的关系就是R关系。这两命题成一对表示逻辑上关系的相“与”与数的相乘不一样，逻辑上关系的“或”与数的相加不一样。）
（两关系的和不受彼此前后位置的更换的影响。）
（R关系包含在或R或S的关系，而S关系也包含在或R或S的关系。）
（说R关系包含在T关系，S关系也包含在T关系，等于说R或S关系包含在T关系。请看22.59的注解。）
（说x与y有R或S的关系，等于说如果R关系包含在任何T关系，而S也包含在任何T关系，则x与y有T关系。）
（如果R关系包含在S关系，则R关系包含在S或T的关系。）
（说R关系包含在S关系，等于说R或S的关系就是S关系。）
（说R关系包含在S关系，等于说既R而又S的关系就是R关系。这两命题是一对，表示“或”与“与”的分别。）
（这命题在语言方面颇麻烦。参考22.63那一命题。读者试以图形表示。）
（这命题与以上成对，情形同样。）
（如果R关系等于S关系，则R关系等于既R而又S的关系。反过来说不通。如果R关系等于既R而又S的关系，R关系固可以等于S关系，但也可以包含在S关系。）
（这命题在语言方面颇麻烦，读者试以图形表示。）
（这命题与22.64那一命题相似，请参考那一命题的注解。）
（参考22.59及22.65两命题的注解。）
（如果R关系包含在S关系，则R或T的关系包含在S或T的关系。）
（这两命题成一对。请参阅22.68与22.69那两个命题的注解。）
（语言表示非常之麻烦。请参阅22.7那一命题的注解。）
（这里第一命题说如果P关系包含在R关系，而Q关系又包含在S关系，则P或Q的关系包含在R或S的关系。第二命题说如果P关系等于R关系，而Q关系又等于S关系，则P或Q的关系等于R或S关系。）
（说既P又Q的关系包含在R，而既P又R的关系又包含在Q，等于说既P又Q的关系就是既P又R的关系。）（非非R关系就是R关系。此情形与类方面及命题方面的情形一样。）
（说R关系包含在S关系等于说非S关系包含在非R关系。参阅22.81那一命题。）
（说既R又S的关系包含在T关系，等于说既R而又非T的关系包含在非S关系。）
（说R关系等于S关系，等于说非R关系等于非S关系。）
（这就是关系方面的排中律。任何x与y有R或非R的关系。总而言之，它们若无R的关系，就有非R的关系；若无非R的关系，就有R的关系。）
（请参考22.84、22.85、22.86、22.87那四个命题的注解。）
（这就是关系方面的矛盾律。任何x与y有既R而又非R的关系是假的。）
（这两命题可以用图形表示，以语言表示似乎佶屈聱牙。）
（如果R关系包含在S关系，则S关系等于R或S而非R的关系。）
（读者试以图形表示。）