二、界说方面的种种
A. 可能的可能，“同一”的意义
以前曾经说过逻辑系统可以说是可能的分类。最初就有可能的可能问题。可能的可能或者有别的条件，但无论可能分为多少，每一个可能总要是那一个可能才行。如果一个可能可以不是那一个可能，至少说话无意义，而可能就不能成其为可能。即以说话的可能而论，如果一个字可以不是那一个字，一句话可以不是那一句话，则语言文字不但无意义而且不能有意义。意义的条件不少，但至少有一条件为大家所承认，此即通常所称为同一律中的“同一”思想。
1. 意义的条件。在此处我们顺便说几句关于“律”的话，然后表示“同一”能否是有意义的条件，最后因“同一”有此职责，提出“同一”的说法问题。
a. “律”字的意义有二，一为“Jus”，一为“Lex”；若以这两意义为标准，通常所谓思想律者不是律。有些人的“思想”似乎不遵守思想律。有理性的思想的确遵守思想律；但有理性的思想，就是遵守思想律的思想；其结果是遵守思想律的思想，遵守思想律。思想“律”的“律”与其他的律大不相同，为免除误会起见，最好是把思想律这名称根本取消。以后谈到“必然”的时候还要提到此问题，此处从略。
b. 设有以下命题——“这张桌子是四方的”，这命题之所以能成为一命题者，有它的不可缺少的条件。不满足此条件，一命题根本就不能成立。此不可缺乏的条件即“桌子”一定要是“桌子”，“四方”一定要是“四方”。如果“桌子”可以不是“桌子”，“四方”可以不是“四方”，则“这张桌子是四方的”，不能有意义。任何人稍微想一想即知道这个道理。如果“桌子”可以不是“桌子”，则指出任何一具体的东西说它是“桌子”，等于以无量数中的任何一名称去形容那个具体的东西。在这种情形之下说“这是桌子”的时候，我们不过发出多少声音或者画了几个样式，我们根本没有说话，也没有利用文字表示一个命题来。“四方”也是一样，其他名称亦莫不皆然。否定命题亦然。在“这张桌子不是四方的”这命题里，桌子固然一定要是“桌子”，“四方”固然一定要是“四方”，而“不是”也一定要是“不是”。
c. 意义条件的同一是完全的同一、绝对的同一，否则它不能尽它为意义条件的责任。“同一”思想可以有另外的职务，但在此处可以不必提及。同一既是完全的同一、绝对的同一，则普通说法颇有问题发生。普通的说法有二：一是“一件东西与它本身相同”，一是“甲是甲”。前一说法把名称方面能有意义与否的条件当作形容事实的命题。这个根本说不通。在时点——空点，这个命题是真的，但在时间——空间，因为“天下无不变的是事体”是真的，这个命题是假的。后一说法也有毛病，一方面常常发生某甲是某甲的问题，另一方面又发生无论何时何地一件东西是否是甲的问题。若有这两方面的误会，同一思想就说不通了。比较说得通的办法是把具体的东西与名称完全分开。如果以x代表具体的东西，我们可以用“如果——则”式的命题表示“同一”的思想，说“如果x是甲，x就是甲”。这样的说法对于x那个具体的东西没有肯定的主张；x那个具体的东西可以是甲也可以不是甲，可以在一时是甲，在另一时不是甲，在一地是甲，在另一地不是甲。但对于甲有主张，那就是说甲总是甲。
2. “同一”的证明问题。学过逻辑的人或者要提出“同一”的证明问题。所谓证明者可以从两方面说，一方面是形式的证明，另一方面是实质的证明（此处实质两字与以前实质两字的意义不同，此处表示事实）。前一方面称为证明，后一方面称为证实。先讨论证明问题。
a. 证明是不能离开系统的问题，所以谈到证明，就谈到一特殊系统。在一特殊的系统范围之内，同一原则是可以证明的。P. M. 的基本概念中没有“同一”的思想，基本命题中也没有“同一”的原则；但“同一原则”与所谓“同一律”者在P. M. 均是推论出来的命题，那就是说它们都是得到证明的命题。其所以有如此情形者理由如下：
（一）照现在的逻辑系统看来，只有基本概念是不给它们下定义的思想，亦只有基本命题是不给它们证明的命题。其他概念都有定义，其他命题都有证明。事实上办到与否是另一命题。
（二）一系统的基本概念与基本命题的选择根据于简单便利等等问题或标准，而没有那一系统范围之外的根本与不根本的问题发生。在一系统范围之内的根本思想，在另一系统不必是根本的思想。
（三）一系统范围之内有那一系统的特殊先后问题。照（二）条所说，“同一”概念不必是一系统的最先的思想，“同一”原则也不必是一系统的最先命题。
（四）既然如此，如果一特殊系统的基本思想或命题是相当的或得当的，或能尽职的，而“同一”概念不是那一系统的基本概念，或“同一”原则不是那一系统的基本命题，则照那一系统的证明方式，“同一”概念当然是可以下定义的，而“同一”原则当然是可以证明的。
b. 习于传统逻辑学的人，或者习于哲学的人，不免要说“同一律”非常之根本。无论你说一句什么话，那一句话就蕴涵“同一律”。形式方面的证明不能离开命题。引用任何的命题来证明同一律等于“先”承认同一律而“后”再证明“同一律”。这个意见，作者从前也相信，现在想想似乎问题全在“先”“后”两字。通常先后两字有时间方面的先后与逻辑方面的先后两意义。我们现在所要注意的当然仅是逻辑方面的先后，而逻辑方面的先后也有两个不同的意义。
（一）宪法有成文与不成文的分别。这种字眼虽然容易发生误会，可是为求达意起见，我们似乎可以借用。逻辑方面的先后也有成文与不成文的分别。所谓成文的先后者是一系统内以语言文字或符号表示的命题的先后；所谓不成文的先后者是一系统内所有的命题彼此所能有而未以文字或符号表示的含义。在一系统范围之内只有成文的先后是那一系统所能承认的先后。为什么呢？如果我们有一个理想的演绎系统，这个系统有一万个命题。这个系统既是理想的，一定是百分的严格，既然是百分的严格，则从命题的不成文的含义方面着想，说了头几个命题的时候，已经说上了一万个命题。如果在这个理想的系统范围之内我们承认不成文的先后，则第一万个命题反可以说在头几个命题之先，因为头几个命题之含义中已经有第一万个命题在内。由此可见，在任何一系统范围之内，只有成文的先后是那一系统所能承认的先后。
（二）既有以上的道理，则在一系统之内，“同一”原则的证明问题根本就不会有能不能证明的问题。如果同一思想是一系统中基本概念之一，我们不给它下定义；如果同一原则是一系统中基本命题之一，我们不给它证明。如果同一原则发现于一系统内推论出来的命题之中，则在那一系统范围之内，它已经有证明。如果既不是一系统的基本命题之一，也不在推论出来的命题之中，则那一系统，如果视为自足的逻辑系统，恐怕就有毛病。
3. 证实问题。如果我们所求者是同一原则的证实问题，而所谓证实者是举事列物求与“同一”原则相符的事实，则我们根本谈不到证实。其所以有如此情形者理由如下。
a. “同一”原则根本不能形容具体的事物的状态。我国的成语说“天下无不变的事体”。从性质方面说，事物在百年之内可变，在一年之内我们不能必其不变，既然如此，在一月、一日、一时、一秒钟之内，我们也不能必其不变。至多我们只能说在相当情形之下我们不能经验事物的变迁。但事物的变迁有我们所能经验的，有我们所不能经验的，有我们已经经验的，有我们未曾经验的。我们未曾经验一事物之变，不是说那一事物没有变；我们不能经验一事物之变，不是说那一事物不能变。总而言之，在有量时间事物总可以变，既可以变，则引用同一原则以形容有量时间的事物，所得到的或者是一个假命题，或者是一命题函量，有时假，有时真。无论如何，所得到的不是普遍的原则。
b. 从关系方面着想，我们更可以说事物无时不变。具体的事物通常都认为是占时空的事物。别的关系可以不提，时空的关系总是在那里变。空间关系之变与不变完全要看环境的大小范围如何。若以天文学所研究的对象为环境，则我们房子里东西的空间关系无时不变。至于具体东西的时间上的关系当然是老在那里变。总而言之，具体的东西，无论从性质方面或从关系方面着想，总不能保其不变。既然如此，同一原则根本不能形容具体的事物。
c. 如果我们把时间缩小到时点，缩小到不存在或不能经验的时点，我们或者可以意想得到一具体的事物在“时点”完全与它自己相同。可是我们要记得，这种“时点”的存在就发生问题。即令把“存在”两字的意义改变，使我们能说这种“时点”存在，而我们仍然不能经验它。我们既不能经验“时点”，当然也就不能经验在“时点”的具体的事物。总而言之，一个东西在时点上或者可以说与它自己完全相同，绝对相同，但是我们既不能经验此情形，则根本没有证实的问题。如果证实的问题有意义，则具体的东西一定是在时间的东西，而在时间的东西，我们不能保其不变，既不能保其不变，就不能谈同一。
以上三点，都表示“同一”原则不是形容事物的原则，根本没有证实的问题。
4. 同一原则的真假与有用或无用的问题。上面所说的是同一原则无所谓证实的问题；它不必要有这种证实才能成立，反过来说它也不因为没有证实就不能成立。现在有人提出同一的原则的真假问题与它有用或无用的问题。兹先提出真假问题，次提出有用与否的问题。此两问题的答案可以总结以上关于同一的讨论。
a. 真假有两方面，一方面是不必真的真，不必假的假，另一方面是必真的真，必假的假。普通命题的真是不必真的真，假也是不必假的假；同一原则是逻辑命题，是以下所要解析的必然命题；它的真是必真的真，不是不必真而适真的真。
（一）以上曾经说过，同一原则不是表示一件事实的命题，不是形容事物的命题。既然如此，引用天演变化以之为对于同一原则的批评根本就不相干。
（二）同一原则无往而不真。它是本章B节所讨论的必然命题。必然命题对于事实毫无断定，对于可能莫不分别地承认。它根本不能假，关于这一点，下节当详言之。这里我们仅断定“如果x是甲，则x是甲”是一不能假的命题，而不能假的理由与其他必然命题之不能假的理由一样。
（三）同一原则既是必真的命题，它没有通常所谓真假的问题。其所以发生通常所谓真假问题者，因为有些人误认它为断定事实或形容事物的普遍命题。承认这里第（一）条的理由，则同一原则不因其不表示事实而为假；承认第（二）条的理由，则它没有普通的真假问题。
b. 有人说“同一”原则无用。所谓无用者是说此原则既不能形容具体的东西，则与“科学”不相干，于知识毫无用处。用与无用是根据于一种要求才能说的。没有一种普遍的有用或无用的东西或思想或原则。如果我们的要求是收复东北四省，至少我们可以说同一原则没有直接的用处。可是如果我们的要求是说话要有意义，则“同一”原则是不能缺少的。如果知识须用命题表示，则同一原则也是不可少的。如果科学是条理化的知识，而它的表现又是一组有系统的命题，则同一原则又是不可缺少的。既没有普遍的有用或无用的东西或思想，则有用无用的命题，似乎要看对于什么样的要求，才能有意义。
B. 必然的解释
在未讨论必然之前，我们可以提出一青年所难免发生的问题。作者在十几年前与同学清谈时，就不免表示对于算学家有十分的景仰。尤其使他五体投地的就是算学家可以坐在书房写公式，不必求合于自然界而自然界却毫不反抗地自动地承受算学公式。这问题在许多读者中或者根本没有发生过，或者发生过而自己有相当的解释，亦未可知。作者对于此问题，以算学素非所习，所以谈不到解释的方式。近年经奥人维特根斯坦与英人袁梦西的分析才知道纯粹算学——至少他们所称为“纯粹算学”的算学，或逻辑学，有一种特别的情形。此情形即为以上所称为逻辑的必然，或穷尽可能的必然。对于这种必然我们可以分以下三层讨论。
同时，排中律就是一最简单而又最显而易见的必然命题，此处讨论必然命题，间接地也就是在那里讨论排中律。
1. 要知道此种必然的性质，我们最好先谈二分法。设以X代表任何东西或事体或事实或思想，如果我们引用二分法，即有X与非X的正反的分别。
a. 如果X代表类称，引用二分法后即有正反两种类称，那就是，X与（非X）。
这种正反两分别的变类要看原来的类称数目多少。有X与Y两类，引用二分法后，就有四种不同的类称。如果以X代表非X类，Y代表非Y类，这四种类称如下：
如果我们有XYZ三类称，引用二分法后，就有以下八类：
由此我们可以看出如果我们以2表示正与反两分别，n代表原来类称数目，引用二分法后，所能有的类称的总数为2n。
b. 以上是以二分法引用于类称，可是当然不必限制到类称方面。现在研究逻辑的人似乎都觉得命题比类称还要根本。这一层在此处不必讨论。我们所注意的是二分法之引用于命题方面与用之于类称方面是一样的。命题也可以有正与反。普通以正为真、以反为假，我们可以照办。可是我们不要把真假看得太呆板，我们现在只认它们为正与反两绝对分别中之一种解释而已。如果我们有一个命题p，引用真假二分法后，就有以下真假可能：
如果有两个命题p与q引用二分法后，就有以下四个可能：
如果有三个命题p、q与r，引用二分法后，就有以下八个可能：
这种可能我们称为真假可能。它的数目为2n，与类称方面的正反可能一样。
2. 类称方面的正反可能有正反可能的函数，命题方面的真假可能有真假可能的函数。我们从最简单的例着手。
a. 一个命题p，引用二分法后，有真假两可能，我们最好用右边的方式表示这两个可能：
可是对于这两个可能，我们从承认与否认方面着想，可以有四种不同的态度，或者说有四种真假可能的函数。这四种不同的态度，可以表示如下：以上“1”与“2”代表一命题的真假两可能，“a”“b”“c”“d”代表四种不同的态度，或真假可能的函数。原来的真假两可能是两个命题，一个说p是真的，一个说p是假的。a、b、c、d四个不同的态度是四个不同的命题如下：
a. “p是真的”是真的或“p是假的”是真的。
b. “p是真的”是真的而“p是假的”是假的。
c. “p是真的”是假的而“p是假的”是真的。
d. “p是真的”是假的，“p是假的”也是假的。
以上四命题中“b”与“c”可以不必提出讨论，因为它们只承认真假两可能中之一可能。“b”命题不过是说“p是真的”，因“‘p是假的’是假的”等于“p是真的”。“c”命题不过是说“p是假的”，因“‘p是真的’是假的”等于“p是假的”。
b. “a”与“d”两命题有特别的情形。“d”命题对于原来的两可能均不承认。原来的真假两可能一方面彼此不相容，另一方面彼此穷尽；事实上的情形无论如何的复杂均不能逃出二者范围之外。换句话说，所有的可能都包括在原来两可能之中。若将所有的可能均否认之是不可能，“d”命题既否认所有的可能，是一不可能的命题，那就是说是一矛盾。
“a”命题与“d”命题的情形恰恰相反。“a”命题把原来任何可能都承认了。“d”命题不能是真的，而“a”命题则不能是假的。这两个命题的真假与寻常命题的真假不同。寻常命题或者是真的或者是假的，而这两个命题中一个不能不假，一个不能不真。
我们要记得“a”命题说“‘p是真的’是真的或‘p是假的’是真的”。这不过是说“p是真的或者p是假的”。我们可以用一个很寻常的命题来试试。假如我们说“这个东西或者是桌子或者不是桌子”，这句话无论如何是不会错的。所谓“这个东西”者既可以是桌子，而不是其他的东西，但也可以是人，或者是椅子，或者是米，或者是西瓜，等等。可是无论它是什么，它都可以容纳到“是桌子或者不是桌子”的范围之内。照此看来“a”命题无往而不真，我们不能否认它，因为在引用二分法条件之下它承认所有的可能。
同时我们也要注意“a”命题这样的命题对于具体的事实或自然界的情形根本就没有一句肯定的话。这种命题既不限制到一个可能而承认所有的可能，则无论在什么情形之下，它都可以引用。这就是承认所有可能的“必然”命题。
c. 以上不过是就一个命题而说的话，如果有p、q两命题，原则一样，不过真假可能加多而已。p与q两命题的真假可能有四个如下：而这四个真假可能的函数则有十六个。那就是说，我们对于这四个可能可以有十六个不同的命题表示十六个不同的态度。此十六个命题之中有一个不可能的命题，有一个必然的命题。前者否认所有的可能，后者承认任何可能。
如果我们有三个命题如p、q、r，我们有八个真假可能，有二百五十六个真假可能的函数。那就是说，我们可以有二百五十六个命题，表示对于这八个可能有二百五十六个不同的态度。这些命题之中有一个否认所有的可能，所以是矛盾的命题；有一个承认任何可能，所以是必然的命题。
3. 凡从以上所讨论的必然的命题所推论出来的命题都是必然的命题。这句话容易说，而不容易表示，更不容易证明。现在姑就容易着手的一方面，表示逻辑的基本命题是方才所说的这一种必然的命题。逻辑与算学或者是已经打成一片，或者是可以打成一片，或者是根本不能打成一片；但无论如何，在P. M.的定义范围之内它们是已经打成一片。这部书的基本命题也就是它的逻辑与算学的前提。我们可以看看这些基本命题是否是必然的命题。
P. M. 第一章（在1910年版中）有六个基本概念，一个定义，十个基本命题。基本命题之中，有五个是用符号表示的，有五个是用普通言语表示的。后者之中有两个是推论的规律。以语言表示的基本命题应否视为此系统的基本部分，颇发生疑问。无论如何本文可以不去管它们。我们在此处仅表示所有以符号表示的五个基本命题都是必然的命题。
这是定义。我们要利用这个定义，去表示以下五个基本命题都是必然的命题。我们要知道：
以上“～”代表“非”或“反”，代表“或者”。
1.2，├：p p· ·p Pp.（Pp.表示是基本命题）
这是第一个以符号表示的基本命题。照以上的定义它可以变成以下的形式：
这个命题说“p或者是假的或者是真的”。一个命题p只有这两个可能，若此两可能之中任何一可能均为此基本命题所承认，它一定是必然的命题。
照以上的基本定义，这命题可以变成以下诸形式：
p与q两命题的真假可能可用下图表示：
以上1.3与1.4两基本命题把p与q所有的真假可能中的任何可能均承认之，所以它们都是以上所讨论的必然命题。
根据同样的办法，这一个命题可以有以下的形式上的变化：
我们可以先把以上命题分成两部，用同样的办法改变它的形式。可是q～r对于p有两个可能：pq～r与～pq～r，所以以上又等于
此中pq～r重复，但毫无妨碍。
1=～p～q～r 2=p～q～r 3=～pq～r 4=～p～qr
5=pq～r 6=p～qr 7=～pqr 8=pqr
p、q、r三命题的真假可能共有八个，兹以上图表示。
以上1.5与1.6两基本命题把p、q、r所有的真假可能中的任何可能均承认之，所以它们也是以上所讨论的必然命题。
P. M. 的十个基本命题中，五个以语言表示的都没有“├”符号。有这个符号，表示这部书的作者肯定地说这些命题是真的。照以上的分析，这五个以符号表示的命题不但是真，而且都是必然的命题。
C. 逻辑的取舍
上面所提出的是必然的性质。我们费那么大工夫去讨论它，因为它是逻辑系统所要表示的实质。在本段我们要提出矛盾的性质，因为它是逻辑系统之所要淘汰的。但矛盾问题，我们在此处仅能讨论一部分，另一部分是自相矛盾与废话的问题，对于这问题，作者感觉麻烦，在本书不预备提出。所以本段所注意的仅为矛盾的性质及说法，表示它为逻辑之所舍，而非逻辑之所取。因为在此处注重逻辑的取舍，我们借这个机会讨论所谓“思想律”者在逻辑与逻辑系统的位置。
1. 矛盾的性质。
a. 在上段讨论必然时，已经说明引用二分法于一命题有真假两可能，而对于这两个可能，我们可以有四个真假函数。这四个之中，有一个是必然的命题，有一个是矛盾的命题。在上段我们所讨论的是第一命题，它是一个必然的命题。在本段我们要讨论第四命题。它是矛盾的命题，既然是矛盾，它是命题与否颇有问题，但现在我们可以不管。
b. 为什么说它是矛盾命题呢？这个命题说“p是假的”是假的，那就是说p是真的；而又说“p是真的”是假的，那就是说p是假的。其结果这句话等于说“p既是真的又是假的”。这样的话通常认为是矛盾的命题，传统逻辑给我们这种习惯，在此处我们不妨引用故有的名称。矛盾的性质，因以上第四命题那样的说法，有使我们容易清楚明白的好处。我们既引用二分法，就是把可能分为两类。事实无所逃于此两可能之间，非此即彼，非彼即此，若将此两可能均否认之是不可能的。矛盾命题之所以为不可能者在此。若以以下命题为例：
甲，“这（指一个东西）是四方的”引用二分法之后，就有以下命题。
乙，“这（指那一东西）不是四方的。”
事实上无论所指的东西是什么——是四方的也好，是长方的也好，是圆的也好等等——这两命题不能都是假的（废话问题以后再谈）。如果我们两可能均否认之，即否认二分法范围之内所有的可能。否认所有的可能当然是不可能，因为所有的可能都是不可能为一自相矛盾的命题。如果所有的可能都是不可能是一可能，则所否认的不是所有的可能；如果所否认的为所有的可能，则否认所有的可能不是一个可能。总而言之，矛盾之所以为不可能者，因为它否认所有的可能。
2. 矛盾律的说法与证明等问题。“矛盾”这思想与“同一”一样也有说法与证明两问题。我们可以利用这两个问题表示矛盾之性质与它在系统内所具的形式。
a. 矛盾所具的形式不一，兹以下列三说法为例：
（一）一命题不能是真的与不是真的。
（二）x不能是B与非B。
（三）x不能是B与不是B。
第一个说法完全是以命题方面的真假两可能为表示矛盾的工具。这在以命题为原子的逻辑系统范围之内是直接的相干的表示，而在以类为原子的逻辑系统范围之内它虽仍表示矛盾，而无直接的用处。可是我们不能说它在第二范围之内，没有直接的用处，就以为我们不能利用它为表示矛盾的工具。
第二个说法是以类称方面的正反两可能为表示矛盾的工具。对于此说法我们可以加以注解说“B与非B”为不可能的类，所以“x不能是B与非B”。这个说法虽然与上面的一样表示矛盾，可是它在以类为原子的系统里，它的用处比第一说法更直接。这里有“非B”的范围问题，但在此处我们不提出讨论，因为这个问题牵扯到整个的“非”的问题。
第三个说法可以说是以类表示矛盾，也可以说是以命题表示矛盾。在以类为原子的系统里，它有直接的用处，在以命题为原子的系统里，它也有直接的用处。若把类的系统与命题的系统联合起来成一系统，我们有系统范围之外的理由使我们先推演命题的系统，后推演类的系统。果若如此，则由（一）可以得（三），由（三）可以得（二）。如果我们有系统范围之外的理由使我们先推演类的系统，后推演命题的系统，我们或者能由（二）得（三），由（三）得（一）。
总而言之，矛盾的表示形式对于系统是相对的。因一系统的原子不同，利用以为表示矛盾的工具也可以不同。不仅如此，矛盾的表示，对于二分法也是相对的；如果我们利用三分法或n分法，则表示矛盾的方式与引用二分法的方式不同。
b. 矛盾律之证明问题。讨论“同一”思想或“同一”原则的时候我们所特别注意的是系统内成文的先后问题。这个问题在证明“矛盾”原则一方面，似乎一样的重要，不过在此处我们可以特别地注意系统范围之内与系统范围之外不一致的情形。兹特举以下三“证明”的例：
（一）设以下例命题表示矛盾之原则：
甲，“一命题不能是真的与不是真的”
乙，“一命题能是真的与不是真的”
甲乙两命题的关系如何呢？如果乙命题不否认甲命题，则无论乙命题能成立与否，甲命题不受影响。如果乙命题否认甲命题，则甲乙之间必有一真一假。那就是说：
丙，“一命题不能是‘是真的与不是真的’与不是‘是真的与不是真的’”
但丙命题等于说：
丁，“一命题不能是真的与不是真的”
丁命题就是甲命题。所以如果乙命题否认甲命题，则承认甲命题，所以甲命题是不能否认的，既不能否认，则必得承认。但甲命题即矛盾原则，所以矛盾原则因用反证法而得证明。
c. 以上三个证明的例各有不同的情形。第一例的特殊情形就是乙命题与丙命题之间的那一段推论。那一段推论是承认矛盾原则以后才能成立的推论。推论能成立，才能证明矛盾原则，推论不能成立，我们不能以那种方法证明矛盾原则。推论之能成立与否要看我们承认矛盾原则与否。结果是第一例的证明是承认矛盾原则后再去证明矛盾原则。不仅如此，我们可以说它是直接引用矛盾原则去证明矛盾原则。
第二例也可以说是承认矛盾原则后去证明矛盾原则，可是在形式上它没有直接引用矛盾原则去证明矛盾原则。在这里我们所应特别注意的是在一大堆具有等号（=）的公式中，我们可以用此以明彼，也可以用彼以明此。我们所得到的是一部分思想的关联或互相关系。如果我们把第二例的秩序变更，我们也可以利用去证明“A2=A”。这样看来，究竟谁证明谁，要看秩序如何。如果没有一个特定的秩序，根本就谈不到证明。
第三例的情形一方面与第二例一样，另一方面也不一样。由前一方面说，我们表示“排中”原则，“或”“与”（·）、“蕴涵”及“推论”原则与矛盾原则的相互关系。若无特殊秩序，我们可以用此以明彼，也可以用彼以明此。这是与第二例一样的。从后一方面说，“或”为P. M. 的基本概念（1910年版），“蕴涵”为基本关系，“推论”原则为基本命题，由乙经丙到丁的推论根据于“推论原则”，“与”在矛盾原则未成文地发现以前，已经介绍，“排中”原则在矛盾原则未成文地发现以前，已经证明。P. M. 有它的特别的秩序，在这个特别的秩序里，第三例毫无疑义地是矛盾原则的证明。
d. 以上的讨论可以归纳到以下诸点：
（一）在一逻辑系统范围之内，所要证明的原则实即在那一系统范围之内那一原则的表示方式。矛盾原则可以有不同的表示方式。每一方式在一相当的系统范围之内才能证明，否则不能。
（二）所谓逻辑的证明都是逻辑系统内的证明而不是证实。但其所以能等于证实者，因为逻辑系统中的命题是必然的命题。
（三）每一逻辑系统均有一特别的秩序，所谓成文的先后即此特别秩序中的先后。逻辑的证明，既是逻辑系统中的证明，当然不能离开一系统的秩序。
（四）不在任何逻辑系统的立场上，即不在任何秩序的立场上，我们不能说逻辑的证明。
总而言之，谈到证明，系统范围之内与系统范围之外的情形不一致。我们在此处可以说是利用“同一”思想、“矛盾”思想以明“证明”，同时也利用“证明”思想以明“同一”与“矛盾”。
3. 所谓“思想律”的解释。读者或者要问以上对于“同一”与“矛盾”两原则均讨论“证明”问题，何以对于“排中”没有讨论，也没有提出证明问题。其实B段所讨论的必然的性质问题即为“排中”问题。“排中”原则的证明问题与其他两原则的证明问题稍微有点不同。逻辑系统所要保留的都是，或都要是，必然命题，而必然命题都表示“排中”原则。既然如此，每一必然命题的证明都间接地是“排中”原则的证明，所以整个逻辑系统的演进可以视为“排中”原则的证明。
A节所讨论的为“同一”，B节所讨论的为“排中”，C节所讨论的为矛盾。这三个原则就是传统逻辑里的三个“思想律”。现在对于所谓“思想律”者有一番批评。有一个无关宏旨的批评——就是思想律不是“律”的那一批评——因为前此已经提及，用不着再谈。除此以外，也有别的批评，我们似乎不应该不提出讨论。我觉得我们对于这三个原则有点误会。在逻辑系统里，它们有两种不同的立场，一种是逻辑系统的实质，一种是逻辑系统的工具。习于传统逻辑的人以“思想律”为无上的“根本”思想，而从事于符号逻辑的人又以为“思想律”与其他思想两相比较孰为“根本”一问题，完全为系统问题。这两说似乎都有理。前一说法似乎是界说方面的说法，后一说法似乎是工具方面的说法。兹特分别讨论。
a. 界说方面的“同一”“排中”与“矛盾”。同一原则是可能的可能，是意义的条件，它也是必然的命题。关于同一原则，我们不必再有所讨论。此处所要讨论的是排中原则与矛盾原则。
（一）“排中”原则。这个原则与其说是“排中”不如说是“排外”。排中原则的可能是彼此穷尽的可能。如把可能分为两类，则此两可能之外没有第三可能；排中原则所排的是第三可能。如把可能分为三类，则三可能之外没有第四可能；排中原则所排的是第四可能。如把可能分为n类，则n类可能之外没有（n+1）可能；排中原则所排的是（n+1）可能。所以说所谓“排中”实即“排外”。这个原则不过表示可能之拒绝遗漏而已。必然的命题从正面说是承认所有可能的命题，从反面说是拒绝遗漏的命题。逻辑所保留的是必然命题，所以它所保留的是表示“排中”原则的命题。
（二）“矛盾”原则。逻辑方面的可能不仅彼此穷尽，而且彼此不相容。如把可能分为两类，则此两可能不能同时承认之。如把可能分为三类，则此三可能不能同时承认之。如把可能分为n类，则此n可能不能同时承认之。矛盾原则可以说是表示可能之拒绝兼容。从消极方面说矛盾是否认所有的可能，从积极方面说它是所有可能的兼容。矛盾是逻辑之所要淘汰的，那就是逻辑之所舍。
（三）以上表示必然为逻辑之所取，矛盾为逻辑之所舍。其他既非矛盾又非必然的命题，逻辑既不舍，也不取。逻辑系统之所取为逻辑上之所不能不取，逻辑系统之所舍为逻辑上之所不能不舍。既非必然又非矛盾的命题在逻辑上均能取而不必取。对于这些命题取与不取的标准不在逻辑范围之内，试验、实验、经验都是对于它们取与不取的标准。但有矛盾的命题在无论什么系统范围之内总是要淘汰的命题。
以上三点可以表示逻辑的功用。它是思想的剪刀，一方面它排除与它的标准相反的思想，另一方面因为它供给能取与否的标准，它又是组织其他任何系统的工具。各种学问都有它自己的系统，各系统虽有严与不严程度不同的问题，而其为系统则一，既为系统就不能离开逻辑。各种学问既都是这样，自然科学也是这样，不过命题之取与不取，承认与否，除逻辑标准之外，尚有旁的标准而已。
界说方面的“同一”“排中”与“矛盾”，不仅是逻辑系统中的思想，而且是逻辑的思想；不仅是逻辑系统中的组织工具，而且是组织别的系统的工具与标准。传统逻辑以它们为无上“根本”的思想的道理，或者就是因为它们除在逻辑系统有职务外，还有范畴其他任何思想的职务。从这一方面着想，它们与逻辑系统中的其他工具似乎不同，把它们视为一组的思想，我们似乎可以说这一组的思想比别的逻辑思想更为重要。
b. 系统中的“同一”“排中”与“矛盾”。系统中的“同一”“排中”与“矛盾”是系统中的工具。在这个工具的立场上，它们与其他的工具一方面无所谓根本与不根本的问题，也可以说没有一定的孰为比较的根本孰为比较的不根本的问题。另一方面每一系统有一特别的成文的先后，而在这成文先后的秩序里，这三个工具可以发现在别的工具之前，也可以发现在别的工具之后；以一特殊系统为背景，它们有孰为比较的根本孰为比较的不根本的问题。
（一）系统方面的问题与界说方面的问题不必相同。界说方面的原则是逻辑的原则，是逻辑系统的对象的原则，（合而为一）或者说它是原则的实质，不是原则的形式。如果有不相融的逻辑系统，界说方面的“同一”“排中”与“矛盾”均为各系统之原则，不过表示的形式不同而已。系统的工具是一系统所利用以为那一系统演进与推论的工具。逻辑是普遍的，逻辑系统是特殊的。每一逻辑系统均是一特殊的秩序，组织那一特殊秩序的工具总免不了有特殊情形。
（二）即以P. M. 系统而论，“或”“与”（·）、“非”（～）、“蕴涵”、等等，均为P. M. 系统中的工具。从工具的立场上看来，在P. M. 系统范围之内，后面的工具不若前面的根本。但这些工具之中，有些是这个系统中的特殊工具如，有些是语言方面的普遍思想如“或”等等，但是也有一些如、“～（p·～p）”，同时也是划分逻辑范围的原则。从后面这立场上看来，它们不能与其他工具相提并论。
（三）总而言之，一方面“同一”是意义的条件，“排中”与“矛盾”都是划分逻辑界限的原则；另一方面，它们又是系统中的工具。从前一立场上看来，它们与其他的工具没有比较根本与不根本的问题，从后一立场上看来，究竟孰为比较的根本或比较的不根本完全是一系统的组织问题，或成文的先后的问题。
D. 推行的工具
一系统中由一命题推到另一命题，由一部分推到另一部分，须有它的推行的工具。推行的工具不止一种，“同”“等”“代替”等等均同时是推行的工具；但最重要的一方面是“蕴涵”，一方面是“所以”。这两个思想在界说方面重要，在系统方面也重要。别的推行工具，我们可以不必特别提出讨论，但这两个工具似乎不能不提出。兹特先讨论“蕴涵”，然后再讨论“所以”。
1.“ 蕴涵”。蕴涵是命题与命题的关系。这关系在普通言语中以“如果——则”的方式表示之。提出蕴涵可真是非同小可，恐怕没有人敢说事实上“蕴涵”的意义究竟是什么一回事。现在各系统中所有的蕴涵可以分作以下数种讨论。
a. 真值蕴涵。这种蕴涵是P. M. 系统中最基本的蕴涵。其所以称真值蕴涵者，因为这关系根据于事实上两命题的真或假。它的定义如下：“等于。那就是说“p是假的或q是真的”。“或”字在此不是不相容的“或”，所以这句话等于“p是假的而q是真的，或者p是假的而q也是假的，或者p是真的q也是真的”，所以这又等于说“p是真的而q是假的是假的”。只要p、q所代表的命题事实上或者都真，或者都假，或p假而q真，我们均可以说。这个蕴涵关系有以下特点：
（一）p、q代表任何命题，照上面的定义，等于如果“p”所代表的是一假命题，“q”所代表的命题可真也可假，而无论为真或为假，总可以说得过去；因为这两可能均为的定义所承认。其结果是一假命题蕴涵任何命题。那就是说，
（二）如果q所代表的是一真命题，p所代表的命题可以真也可以假，而无论其为真或假，总可以说得通；因为这两可能均为的定义所承认。其结果是任何命题蕴涵一真命题。那就是说，。
（三）既然如此，这种蕴涵关系就是很奇怪的蕴涵关系，尽管它是普通言语中一部分的“如果——则”的关系。对于这种蕴涵关系的批评很多，但大多数的批评不在否认此情形为关系，而在否认此关系为蕴涵关系。这差不多完全是“蕴涵”这名词的问题。对于这个批评一方面我们可以说，而P. M. 的作者也曾明白表示过，它们有用字的自由权；另一方面我们也可以说，如果p、q两命题有以上所表示的关系，则“如果p是真的，q也是真的”这一命题可以表示这样的关系，因为p、q既有如此关系，则“p是真的而q是假的”是假的。请注意我们只说“如果p是真的，q‘也’是真的”，我们不说“如果p是真的，q‘就’是真的”，因为p、q两命题在此关系中不必有意义上的关系。
（四）同时我们也得要承认，这种蕴涵关系是否就是普通言语中的蕴涵关系至少令人生疑，所以叫它作真值蕴涵以别于其他蕴涵。但何以名之为真值蕴涵呢？这种蕴涵关系不是说p、q两命题在意义上有任何关联，它所表示的不过是“p真而q假”事实上是假命题。一个真命题有“真值”，一个假命题有“假值”。这种蕴涵关系既是两命题事实上的真假关系，也可以说是真假值的关系，所以简单地称为“真值蕴涵”。
b. 形式蕴涵或。这种蕴涵可以说是由真值蕴涵归纳得来的，也可以说是无量普遍化或抽象化的蕴涵关系。这两说的不同处很大。兹先把它当作由真值蕴涵归纳得来的蕴涵看待。
（一）设p、q代表任何简单的主宾词式的命题，φ、ψ代表谓词，x代表个体的东西；设p可以分析成φx，q可以分析成ψx，可以改作ψx”。x可以代表任何东西，同时无论它代表什么东西，都是真的。这情形可以用以下方式表示：
如果“n”代表一有量的数，而同时又是限于时地的东西的总数，我们可以用（x）符号表示任何限于时地的东西，总结以上（1）（2）（3）……（n）命题如下：
这个命题在语言方面可以有好几个表示方式。我们可以说，（甲）所有的φ是ψ，（乙）无论是哪个x，x是φ它就是ψ，（丙）无论是哪个x，x是φ是真的，x是ψ是假的是假的。这三个说法之中以（丙）说为严格。（甲）说有以下毛病，它与传统逻辑的“A”命题不同。它的主词所代表的东西可以不存在，如不存在，则此命题是真的。所以它是“An”，不是普通的“A”。（乙）说也有毛病，它与普通的“如果——则”的命题不同。我们可以说“无论x是什么，如果它是龙，它就是四方的”。照普通的“如果——则”的命题看来，这至少有毛病，而照此处所讨论的蕴涵看来，这个命题是真的。总而言之，“形式蕴涵”照以上的解释，似乎免不了真值蕴涵的古怪情形。
（二）但如果上条中的“n”代表无量数，或不能达到的数，而x代表不限于任何时地的东西，则“形式蕴涵”的意义改变。以上所说的古怪情形就是真值蕴涵的古怪情形。照真值蕴涵的定义，一假命题蕴涵任何命题，所以在中，只要前件是假的，形式蕴涵总可以说得通。同时照以上的解释，φx可以总是假的。因为x代表限于时地的东西，因为事实上没有“千角兽”，说“x是千角兽”，这总是假命题。既然如此，“无论x是什么，如果x是千角兽，x是圆的”总是说得通的或真的形式蕴涵。
现在n既代表无量，x所代表的东西又无时地的限制，则“x是千角兽”不能说总是假命题，那就是说它也可以是真命题。如果前后两件既可真可假，而同时又承认形式蕴涵其他部分的思想，则有时我们可以利用形式蕴涵以为定义的工具。如果我们利用它以为定义的工具，形式蕴涵就表示φ与ψ的意义上的关系。如果φ与ψ有意义上的关系，形式蕴涵就与意义上的“如果——则”的命题接近了。所以从本条的解释看来，真假值的蕴涵关系可以变成意义上的蕴涵关系。
同时我们要记得有以上解释的形式蕴涵，虽可以是而不必就是意义上“如果——则”的命题。我们以前曾经说过，通常“如果——则”的命题不容易说究竟是怎样的命题。有以上解释的蕴涵不必是有意义关系的蕴涵。所以至少它不必是表示意义关系的普通“如果——则”的命题。别的不说，如果φx代表一个复杂的而同时又是不可能的命题，则有以上所解释的形式蕴涵似乎就变成路意斯氏的“严格”蕴涵。就这一点而言，这种蕴涵关系也就与普通的“如果——则”的命题不一样。
形式蕴涵有以上（一）（二）两解释。究竟是哪一解释代表形式蕴涵呢？这问题颇不容易答复。在P. M. 似乎只有前一解释，但把x这符号的意义改变，它就可以有后一解释。我们现在恐怕只能说所谓“形式蕴涵”者至少有以上不同的两种蕴涵关系。
c. 穆尔蕴涵或entailment。这个蕴涵关系似乎与一部分的普通“如果——则”的命题最相似，但究竟是这样与否，也难说。设有两个命题p、q，而它有时有一种关系使我们说“q可以由p推论出来”，穆尔蕴涵就是与“可以推论出来”这一关系倒过来的关系。“这本书是有颜色的”这一命题可以由“这本书是红的”这一命题推论出来；“孔子是人”这一命题可以由“所有有理性的都是人”与“孔子是有理性的”这两命题联合起来的命题推论出来。照以上的说法，“这本书是红的”蕴涵（entails）“这本书是有颜色的”；“所有有理性的都是人”与“孔子是有理性的”蕴涵（entails）“孔子是人”。对于这种蕴涵关系我们可以注意以下诸点。
（一）这种蕴涵关系没有真值蕴涵的古怪情形。一假命题不蕴涵（entails）任何命题，任何命题也不蕴涵一真命题。理由简单，“唐太宗是人”绝不能由“中国在非洲”推论出来，所以“中国在非洲”虽“唐太宗是人”，而不“entails”“唐太宗是人”，“中国在非洲”也绝不能由“唐太宗是人”推论出来，它们根本就没有穆尔蕴涵。
（二）这种蕴涵也没有d条所要提出的严格推论的古怪情形。这一点请参见d条。
（三）这种蕴涵一方面可以说是表示事实。事实上所有的红东西都是有颜色的东西，所以“如果x是红的，它就是有颜色的”。另一方面它也可以说表示抽象的理论或名称的定义，欧克里几何的“点”既有那特别定义，我们可以说“如果x是欧克里的点，x就无长短、无厚薄、无高低”。但前一方面的情形可以容纳于后一方面，所以它总是意义方面的蕴涵。
（四）这种蕴涵与真值蕴涵根本不能比较，与第一义的形式蕴涵也可以说是完全不同。它可以说是第二义的形式蕴涵之一部分，可是它的范围比较的狭。
d. 严格蕴涵或路意斯的“p→q”。这种蕴涵的定义包含“不可能”的思想，而同时“不可能”又视为简单命题所能有的各值中之一值。这一层以后再提及。设有p、q两命题，p严格蕴涵（→）q，就是说“p是真的而q是假的是不可能的”。对于此蕴涵关系，应注意以下诸点。
（一）“不可能”的意义不是矛盾。如果“不可能”的意义是矛盾，则p、q两命题的意义相同，实为一命题。其结果是不仅p蕴涵q，而且q也蕴涵p。所以如果“不可能”的意义是矛盾，则严格蕴涵应该是对称的。但严格蕴涵不是对称的，那就是说p虽“→”q，而q不必“→”p。
（二）“不可能”的意义似乎也不是“不一致”的意思。如果“不可能”的意思有普通所谓“不一致”或者“冲突”的意思，则仅有复杂的命题才能是“不可能”的命题，因为“不一致”是两命题或多数命题之关系，所以一定要是简单命题联合起来的复杂命题才能称为“不可能”的命题。但p可以代表“x是红的”这样的简单命题，这样的简单命题，路氏有时也说它“不可能”，所以“不可能”不能是“不一致”。究竟是什么颇不易说。在路意斯系统里，它是一基本概念。
（三）严格蕴涵有以下奇怪情形。这里的奇怪情形与真值蕴涵的奇怪情形相似。照定义，p严格蕴涵q等于说p是真的而q是假的是不可能的。如果p是一不可能的命题，则无论q为真、为假、为可能、为不可能、为必然的命题，“p是真的而q是假的”，总是一不可能的命题，所以p总“严格蕴涵”q。结果是一不可能的命题“严格蕴涵”任何命题。由同样情形，任何命题“严格蕴涵”一必然的命题。
（四）除以上奇怪情形之外，严格蕴涵可以说是意义上的蕴涵，不过它不仅是意义上的蕴涵而已。如果p所代表的是“这本书是红的”，“q”所代表的是“这本书是有颜色的”，因为“红”与“有颜色”有定义上的关系，所以“这本书是红的”严格蕴涵“这本书是有颜色的”。从这一方面着想，它与穆尔蕴涵相似。但严格蕴涵既有以上的奇怪情形而以上的奇怪情形又不表示两命题意义上的关系，严格蕴涵虽可以是而不必是意义上的蕴涵。
e. 以上所举的是四种不同的蕴涵关系，有的与普通的“如果——则”的命题接近，有的则大不相同。这四种蕴涵关系与普通的“如果——则”的命题之间就有以下的问题。它们代表普通的“如果——则”呢，它们是新发明呢，它们是新发现呢？在此处我们又要表示普通的“如果——则”的命题究竟是怎样的命题，实在不容易说。恐怕最妥当的说法是说它包含各种不同的蕴涵关系。即以普通语言为例：“如果今天天晴，我就打球”与“如果你是中国人，你就是黄种人”。这两种“如果——则”的命题，普通语言中都有，可是它们包含两种不同的蕴涵关系。我们或者可以说，这里提出的四种不同的蕴涵关系，均不成文地寓于普通的“如果——则”命题之中；可是成文之后，意义比较正确；意义既比较正确之后，我们就不应把它们相混起来。在没有分别或解析之前，我们糊里糊涂地用些“如果——则”的命题；在既分别或解析之后，我们虽仍用“如果——则”式的命题，我们就得知道这命题里所包含的蕴涵关系是哪一种蕴涵关系。同时我们要记得这四种蕴涵关系并不能说是包举无遗，恐怕还有好些的蕴涵关系没有发现。
2. “所以”。此处所说的“所以”是演绎方面的所以，不是归纳方面，或普通言语中的所以。这种“所以”是演绎方面的“inference”，它根据于蕴涵。能说所以的时候总有蕴涵关系，本段所要提出的问题是有蕴涵的时候是否能说“所以”。
a. 这个问题是Lewis Carrol提出来的。古希腊有“阿乞黎”——以善跑出名者——与乌龟赛跑，只要乌龟先动身，阿乞黎永远追不上的论辩。Carrol利用这论辩中的角色以为表示推论不可能的工具。阿乞黎说一个三段论（兹假设为以下三段论）：
（甲）所有的人都是会死的
（乙）苏格拉底是人
（丙）所以苏格拉底是会死的。这个三段论在阿乞黎是毫无问题；但在乌龟方面，它总觉得结论靠不住。何以靠不住呢？乌龟的理由如下：仅有（甲）（乙）两命题，我们不能得（丙）命题的结论，因为我们不知道（甲）（乙）是否蕴涵（丙）命题。如欲得（丙）命题的结论，我们要加一命题如下：“（甲）（乙）两命题真蕴涵（丙）命题”。这样，欲得（丙）命题的结论，我们不仅要有（甲）（乙）两命题为前提，而且要有第三命题为第三前提。但这仍不够，因为根据同样理由，我们要加一命题“（甲）（乙）与第三命题联合起来真蕴涵（丙）命题”为第四前提才行。由此一步一步地类推，（甲）（乙）两前提之后，要有无量数的前提才行。那就是说，我们不能得（丙）命题的结论。
b. 我们或者要说以上是诡辩，但它有相当的理由。它表示蕴涵关系可以成为一串链子，不容我们中断，而我们要得结论，那就是说，要使我们对于一命题能冠以“所以”两字，我们非打断那一串蕴涵关系不成。唯一打断的法子就是承认以上（甲）（乙）两前提既均蕴涵（丙）命题，只要承认（甲）（乙）两命题我们就可以直接得（丙）命题的结论。如（甲）（乙）两命题不蕴涵（丙）命题，则根本不能得（丙）命题的结论。问题是（甲）（乙）两命题与（丙）命题之间有蕴涵关系没有。如有，则用不着第三第四等等命题；如无，则根本不能得结论，根本就不能说“所以”。
c. 可是照以上的情形看来，如无成文的方式打断蕴涵的链子，我们可以假设链子没有打断。如未打断，则“所以”说不通。推论的原则一方面固然是普遍的推论方式，另一方面也可以说是打断蕴涵链子的原则。从前一方面着想，它有积极的用处；从后一方面着想，它又有消极方面的用处。在自足的逻辑系统内，我们似乎免不了要有成文的推论原则。在P. M. 基本命题之中，有推论原则。
其他的推行工具如“同”“等”“代替”等等，其情形与蕴涵相似。它们都是使我们能说“所以”的根据。我们不必一一讨论。在此处我们可以说“代替”在P. M. 系统中是一很重要的方式。p、q、r等既代表任何命题，则承认之后，我们也承认；换言之，我们能以q代替p，以～q代替～p。代替的范围可以毫无限制，所要求者，一致