乐读窝

程序员的数学思维修炼

乐读窝 > 科普学习 > 程序员的数学思维修炼

1.1一则童话

书籍名:《程序员的数学思维修炼》    作者:周颖



根据我们所学的知识可知道,数据通常是用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数来表示,由这些数的不同组合表示现实生活中各种各样的数据。首先来看这个数列中的前两个数:0和1,从通常意义来说,0就是什么也没有,真的是这样吗?对程度员来说不应该这样理解。

先来看这样一个问题,0和1谁大?



1.1.1 0和1的故事


在数学王国里,胖子0与瘦子1常常为了谁大而争执不休。瞧!今天,这两个小冤家狭路相逢,彼此之间又展开了一场舌战。

瘦子1抢先发言:“哼!胖胖的0,你有什么了不起?就像100,如果没有我这个瘦子1,你这两个胖0有什么用?”

胖子0不服气了:“你也甭在我面前耍威风,想想看,要是没有我,你就只是一个光杆呢?”

“哟!”1不甘示弱,“你再神气也不过是表示什么也没有,看!1+0还不等于我本身,你哪点儿派得上用场啦?”

“去!1×0结果也还不是我,你1不也同样没用!”0针锋相对。

“你……”1顿了顿,随机应变道,“不管怎么说,你0就是表示什么也没有!”

“这就是你见识少了。”0不慌不忙地说,“你看,日常生活中,气温0度,难道是没有温度吗?再比如,直尺上没有我作为起点,哪有你1呢?”

“再怎么比,我始终比你大。”1信心十足地说。

听了这话,0更显得理直气壮地说:“嘿嘿,你的大小还得我说了算,我站你左边,你就成0.1,我站你右边你就是10。怎么样?我可让你放大10倍,也可让你缩小10倍!”

眼看着胖子0与瘦子1争得脸红耳赤,谁也不让谁,一旁观战的其他数字们都十分着急。

这时,9灵机一动,上前做了个暂停的手势:“你俩都别争了,瞧你们,1、0有哪个数比我大?”

“这……”胖子0、瘦子1哑口无言。

这时,9才心平气和地说:“1、0,其实,只要你们站在一块,不就比我大了吗?”

1、0面面相觑,半晌才搔搔头笑了。“这才对嘛!把自己的位置放正,就能起到应有的作用”。9语重心长地说。

从以上故事可看出以下两点:

0并不表示什么都没有。

数的大小与所处的位置有关系。

下面就来讨论这两个问题。



1.1.2 0是什么都没有?


通常意义上,0表示“没有”的意思。例如,“2012年过去了,可我的收获为零!”这就表示在2012年没有收获。

但是,0真表示什么都没有吗?

其实,0不仅表示什么都没有,它还有更丰富的内涵。例如,0度并不是没有温度,而是表示温度为0度,比零下1度高,比1度低,如图1-1所示。

图1-1

在日常生活的常用语中,也有很多用0来表示的,如“很多女孩子都喜欢吃零食”,这里的“零食”并不是表示没有“食”,如图1-2所示。

图1-2

“为了增加收入,改善生活,很多程序员在业余时间都会接点零活来做。”这里的“零活”并不是没有“活”。

其实,在数学上,0也并不是表示没有。例如,8和8.0相等吗?其含义相同吗?

看起来在小数点后添加一个0是没有意义的,不过,其含义实际是不相同的。在近似数表示中,数字8表示数据只精确到个位,如7.9、8.2等数精确到个位都表示为8。而8.0表示数据精确到十分位,如8.02、7.99等数精确到十分位都表示为8.0。所以,从这个角度来看,8和8.0是不相等的。



1.1.3 0的位置


从“0和1的故事”可看出,当0所处的位置不同时,其含义也不一样。如前面说的8和8.0,当把0放在小数点后面时,从绝对值方面来看,两个数是相等的,但从近似数来看,小数点后多了一个0,其表示的含义也就不一样了。

那么,在小数点左侧添加0呢?如果在数的最左侧添加0,无论添加多少个0,数的大小都不变。

但是,如果在数的中间插入0,数的位置与数的大小关系就很明显了,如在18的中间插入一个0,得到的是108,很明显,其大小差别很大。

对于18,表示十位为1,个位为8,也就是说,表示18这个数有1个10,8个1。而108,表示百位为1,十位为0,个位为8,即表示有1个100,0个10,8个1,这时的0是一个占位符,把1从十位挤到百位。

而如果在紧邻小数点的左侧添加0,则数据会扩大10倍。



1.1.4 程序中的0


在电子技术中,0一般表示低电平,1为高电平。在逻辑计算中,0一般表示逻辑假(False),1为逻辑真(True)。在数值运算中,0与平常数学中0的含义相同。

在程序中,数据0有什么含义呢?

1.未赋值的变量为0?

在不同的程序设计语言中,对于未赋值变量的处理不一样。

对于Basic类的程序语言,如QB(Quick  Basic,简环QB)、VB(Visual  Basic,简称VB),如果数值型变量未赋初值,则其初始值为0。例如,有以下VB程序代码:

在以上VB代码中,声明了变量i,但未对其进行赋值。虽然未进行变量赋值初始化,但VB编译器会自动将这类数值型变量初始化为0。因此,执行以上代码将显示如图1-3所示的对话框。

图1-3

对程序员来说,VB对变量进行初始化的方式很讨人喜欢,变量声明后就可以使用。但是,在.Net  Framework中,其处理方式又不相同,例如,以下是VB.NET中的代码:

以上代码并不会出错,但运行后得到的结果如图1-4所示。从这个结果可看出,在VB.NET中,如果变量使用之前未进行初始化,这时其值为空(并不为0)。

图1-4

其实,在Visual  Studio开发环境中仔细观察代码,可看到在MsgBox函数中的变量i下方有一个波浪线,将鼠标指针指向变量i,可看到如图1-5所示的提示信息,提示变量i在赋值前被使用。

图1-5

对于C语言系列的程序设计语言(如C、C++、C#等),程序员就没那么幸运了,未初始化的变量编译器并不会将其初始化为0,而且不同编译系统可能会采用不同的处理方式。例如,有如下的C#程序:

以上的C#程序是没办法编译通过的。在Visual  Studio开发环境中可以看到变量i下方有一条波浪线,将鼠标指针移到变量i上,可看到如图1-6所示的错误提示信息,提示使用了未赋值的局部变量i。

图1-6

要想得到如图1-3所示的对话框,在C#中必须将变量i进行初始化,给变量赋值为0,修改后的代码如下:

而在Dev-CPP环境中编写以下C语言程序:

编译时不会提示错误,运行时则将显示类似图1-7所示的结果。

图1-7

虽然在程序中没有初始化变量i,但变量i却有一个值(图1-7中显示的是1976933940,下次运行该程序时可能又是另一个值),这是为什么呢?原来,在ANSI  C中定义变量时,编译器将给该变量分配内存,但并不会将分配的内存初始化为0。这样,原来该内存区域中保存的是什么值,新指定的变量也就具有了什么值。在图1-7所示结果中,给变量i分配的内存中的值正好为1976933940,所以变量i也就具有了这个值。

2.数值0的类型转换

程序中经常会用到数据类型的转换,如将数值类型转换为字符串类型、将数值类型转换为布尔类型等。

将数值0转换为字符串0,这种转换很好理解,其显示的内容都是相同的0,只有在进行数值运算时才能体现出不同。

数值0转换为布尔类型是什么值呢?

在ANSI  C中没有专门设置布尔类型,在进行逻辑运算时,将0值作为布尔值False,将非0值作为布尔值True。

在C#中,定义了Boolean类型,数值0转换为Boolean类型时得到的结果为False,非0值转换为Boolean类型时得到的结果为True。

3.除以0异常

我们在小学就学过:0可以做被除数,但不可以做除数。在程序中,当除数为0时,将出现异常。例如,有以下C代码:

当执行以上代码时,由于除数Divisor为0,将产生一个严重的错误,导致程序不能继续运行,如图1-8所示。

图1-8

在程序执行中如果遇到这种异常,将导致程序中断,但这不是我们所希望的。一个好的程序员应该考虑并处理程序中可能发生的各种异常,并捕获这些异常,然后给用户显示出一个友好的错误提示信息。不过,ANSI  C中并没有提供异常捕获机制,因此需要程序员根据程序执行过程,主动去判断除数,以避免产生这种严重异常。例如,可将以上代码修改为以下形式:

编译执行以上程序,将得到如图1-9所示的结果,提示了“除数不能为0!”,程序并没有进入严重异常状态。

图1-9

在异常捕获方面,C++、C#就要方便得多。例如,C#定义了很多异常(也包括Divide  By  Zero  Exception异常),我们在程序中可以使用try…catch结构来捕获这些异常并进行处理。