思维的框架
从我们出生的那一天起，大脑已经形成了复杂的概念建构，例如数量的观念，甚至伦理的观念。我们把自己对现实的重构植根于那些概念的框架里。听一个故事时，我们不会逐词记录它，而是用思维的语言重构它。这也就是为什么从同一个电影院出来的人有着不同的故事。我们是自己的现实的编剧、导演和剪辑者。
这种情况在教育环境中也很常见。类似的情况同样适用于学校的班级教学，每个学生都用自己的语言重构教师讲授的知识。我们的学习过程是一个交会点，给我们呈现的东西和我们同化它的倾向在那里融合。大脑不是一张可以任意书写的白纸，而是一个粗糙的表面，有些形状非常适应它，另外一些则不适应。对学习来说，这是一个比较好的比喻，因为这是一个适合的问题，一个匹配的问题。
世界自身的再现是最精致的例子之一。希腊认知心理学家斯特拉·沃斯尼亚杜（Stella Vosniadou）细致研究了数以千计的绘画，以揭示儿童对世界的再现发生了怎样的变化。在其教育史上的某一时刻，儿童接受了一种在当时看来荒唐的思想，即：世界是圆的。这当然是可笑的，因为在他们的人生中累积的所有事实证据都指向了相反的一面。[4]
为了理解世界是圆的，你必须忘记某种根据感觉体验非常自然的东西：世界显然是平的。不过，当我们理解了世界是圆的，其他问题又来了。为什么在世界另一侧的中国人没有掉下去？引力在这里开始发挥作用，把每个人都困在了地上。但是，新问题是：如果世界只是漂浮在空间里，那么为什么它不掉下去？
在某种程度上，我们一生中经历的概念变革堪与历史上的文化发展相比。那些在听到世界是圆的时感到震惊的孩子是在复制伊莎贝拉女王（Queen Isabella）的概念斗争，当时哥伦布（Columbus）向她建议派他航海。[5]于是，就像在人类文化漫长的历史中多次发生的那样，诉诸托着它的大海龟或大象，地球漂浮在虚空中的问题在幼儿期得到了解决。在童话之外，有趣的是每个个体如何必须根据自己的概念框架，找到解决现实问题的办法。物理学家能够理解世界在旋转，它有惯性，它其实在做轨道运动。但是，一个八岁的孩子无法借助他的武库中的论据，来解决地球为何不掉下去的困境。
对讲课的教师或父母来说，很有必要知道，那些正在学习的孩子是在一种与他们自己的概念框架大为不同的概念框架中吸收信息的。知道了这一点，教学就变得有效多了。这与仅仅讲得比较简单无关，而与把你知道的东西转化进另外一种语言、另外一种思维方式有关。这也就是为什么，在一定程度上有些奇怪的是，当讲课的人是另外一个拥有同一概念框架的学生时，讲课改善了。在其他时候，最佳的转化者就是学生本身。
数学家费尔南多·乔尼（Fernando Chorny）、巴勃罗·卡勒（Pablo Coll）、劳拉·帕扎伊特（Laura Pezzaitt）和我做了一个极为简单的测验，它或许会对教育实践产生重要的影响。我们把几百名正在准备初级课程考试的学生分成两组，然后给他们出了一个数学问题。要求第一组仅解答问题，就像在别的任何测验中那样。第二组则要首先用他们自己的话重写问题的系统说明，然后解答问题。
从一个视角看，第二组的额外任务会让他们分神，减少他们的时间，降低他们的注意力。但是，从我们在这里概括的视角看，它推动他们去做对学习至关重要的东西，即：在解题之前将其转化他们自己的语言。[6]变化是惊人的。那些重写了问题的学生100%超过了直接解题的学生。
平行是什么？
我们现在将从一个孩子的视角来看几何学，为的是发现以自己的语言重写概念的过程远远超越了词语的世界。实际上，读一下平行的定义就足以明白，几何和词语的关系并不融洽：“与另外一条线或一个平面等距离，以便它们无论延伸多长，都不能相交。”这个定义充满抽象的词语：线，平面，等距离（无穷大的概念也往往被用于定义它）。Parallel（平行）这个词本身就很复杂，不好发音。谁会喜欢那种东西？然而，当我们在几条平行线中看到两条不平行的线时，一下子就明白了。我们的视觉系统确立了一些直觉。早在几何概念被形诸文字之前，让我们就能凭这些直觉辨认几何概念了。
三岁大的孩子已经能够辨认众多平行线中的两条不平行的线。他们也许不能解释那个概念，更不可能命名它，但是他们明白，有某种东西让那两条线与众不同。众多其他几何概念也发生了相似的情况，如直角、闭合图形或开放图形、一个图形的边数、对称，等等。
要考察教育没有确立的一些普遍方面，有两种自然的办法。一种办法是，在孩子尚未受到文化的过度影响时，观察他们。另一种办法是，作为一种思维人类学家，到教育迥异的地方旅行。
就考察数学思维而言，巴西亚马孙流域深处的蒙杜鲁库部落是受过最多研究的文化之一。蒙杜鲁库人拥有一种非常丰富、古老的文化，他们的数学思想和我们从希腊人和阿拉伯人那里继承来的思想大相径庭。举个例子，他们没有与绝大多数数字对应的词。他们有一个合成词指称1（pug ma），有一个指称2（xepxep），有一个指称3（ebapug），有一个指称4（ebadipdip），就再也没有了。接下来，他们有表示大约数量的词，如pug pogbi（一把）、adesu（一些）、ade ma（很多）。换句话说，他们拥有的数学语言并不精确。他们的语言能够区别“很多”和“一些”，却无法断定9 – 2＝7，后者是无法表达的。在蒙杜鲁库人的语言中，7、30、15是不存在的。
他们语言中的抽象几何术语也不多。那是否意味着，蒙杜鲁库社区中的几何直觉和波士顿社区的几何直觉大为不同呢？答案是否定的。心理学家伊丽莎白·斯皮克（Elizabeth Spelke）发现，当几何问题通过视觉方式、不用语言加以表达时，蒙杜鲁库的孩子和来自波士顿的孩子以非常相似的方式解决了它。不仅如此，对来自波士顿的孩子而言简单的东西对蒙杜鲁库的孩子也是容易的，例如在其他角中辨认直角。较难的东西对他们而言都是难的，例如在非对称元素中辨认对称元素。
数学直觉横穿所有文化，从婴儿期起就表现了出来。数学是在关于我们看到的东西（大东西，小东西，远的东西，弯曲的东西，直的东西）的直觉和关于空间、运动的直觉上构建的。在几乎所有文化中，数字都是在一条线中被表达的。加是沿着一条线移动（通常是向右），减也是一样，只是方向相反。这些直觉中有很多是天生的，是自发发展的，不需要任何正式的教导。当然，到了后来，正式教育被添加到了已经形成的直觉群之上。
当比较波士顿的成年人和蒙杜鲁库的成年人时，前者解决几何问题要有效得多。这几乎是在陈述一个明显的、只是有待证实的事实，即：如果一个人花费多年学习一种行当，那么他就会比较擅长于这一领域。但是，最有趣、最有启发性的是，虽然教育提高了我们解决所有问题的能力，依然存在一种难度等级。对我们成年人来说，最难的问题是那些我们童年时解决不了的问题。
总之，当人们发现某种东西时，按照自己的概念框架分析它，而那种框架的构建来自非常早的（甚至也许是天生的）直觉。通过时间和学习，我们经历了概念变革。这些变革改变了我们组织概念、呈现世界的方式。但是，旧的直觉概念依然持续。我们还能够在成年阶段发现孩子气的解决问题的方式，就连该领域的专家也未能幸免。在我们的教育形成期，那些不太依靠直觉解决的问题依然是乏味的，难以解决。要改善我们教导孩子的方式，理解这一直觉群在人的头脑中的运作方式是一条自然途径。