2.5梅森素数
我们知道，在自然数中素数较少，10000以内的自然数中只有1229个素数，而孪生素数就更少，10000以内的孪生素数只有205对（510个）。在素数中还有更稀少的一个种类，那就是梅森素数，截止2013年2月，人们仅发现48个梅森素数。
2.5.1 什么是梅森素数
那么，什么是梅森素数呢？
马林·梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于P＝2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2P－1是合数。前面的7个数（即2、3、5、7、13、17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31、67、127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。
梅森的猜测中遗漏了61、89、107，而将67和257被错误地包含了进来。
虽然梅森的断言中包含错误，但他的工作极大地激发了人们研究2P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。由于梅森最早系统而深入地研究2P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp来标记梅森数，即Mp＝2P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2P－1型素数）。
总结一下，梅森素数是指形如2P－1的正整数，其中指数P是素数，常记为MP。若MP是素数，则称为梅森素数。
当P＝2、3、5、7时，MP都是素数，但P＝11时，M11不是素数，因此M11不是梅森素数，如图2-13所示。
图2-13
2.5.2 已知的梅森素数列表
是否有无穷多个梅森素数？这是数论中未解决的难题之一。截止2013年2月累计发现48个梅森素数，最大的是P＝57885161（即M57885161＝257885161－1），此时MP是一个17,425,170位的非常大的整数。
如表2-1所示是目前为止已发现的梅森素数列表。
表2-1 梅森素数列表
续表
续表
由于现在还不知道在第42个梅森素数（M25,964,951）至第48个梅森素数（M57,885,161）之间是否还存在未知梅森素数，所以在其序号之前用*标出。