4.2乘法原理
在实际应用中，要将所有情况都列出来，经常要用到乘法原理和加法原理。下面先来看看乘法原理的应用。
4.2.1 行程安排的问题
在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法。要知道完成这件事一共有多少种方法，就需要用乘法原理来解决。
例如：某公司销售部王经理从重庆到成都参加西南片区的销售会议，之后再到北京参加全国销售会议。其中，他从重庆到成都可以乘长途汽车、火车或飞机，从成都到北京可以乘火车或飞机。那么，王经理从重庆经成都到北京共有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，王经理从重庆到北京要分两步走，第一步是从重庆到成都，可以有3种走法，即：
第二步是从成都到北京，有两种走法，即：
所以，王经理从重庆经成都到北京共有下面的6种走法：
在上面讨论问题的过程中，我把所有可能的办法一一列举出来，这种方法叫穷举法。穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的，但是如果每一步中的方法数很多时，需要重复列出很多项目，费时费力，还容易出错。例如，在上例中，如果从重庆到成都有10种（或20种走法），从成都到北京又有10种（或更多）的走法，要将每种走法列举出来，将是比较繁琐的事。
4.2.2 乘法原理适用条件
为了解决穷举法比较繁琐的这个问题，可以对上例的行程问题做一番总结，从中提出相应的规律，以方便解决类似问题。
上面的例子中，完成一件事要分两个步骤，由穷举法得到的结论可看出，用第1步所有的可能方法数乘以第2步所有的可能方法数，就是完成这件事的总方法数。
一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第1步有M1种不同的方法，做第2步有M2种不同的方法，做第3步有M3种不同的方法……，做第n步有Mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N种方法，由各步的方法数相乘而得到。
这就是乘法原理。
哪些情况下适用乘法原理？
乘法原理的核心就是分步：每步都只完成其中的一部分，只有每一步都完成了这件事才算完成。分步计数时应注意步与步之间的连续性和独立性，以确保在计数时不遗漏不重复。
因此分步完成的任务可适用乘法原理，有些问题可能需要仔细分解一下才能化解为分步完成的结构。
4.2.3 棋盘上棋子的放法
再来看一个例子。如图4-5所示是一个4×4方格的棋盘，要在该棋盘中放4枚棋子，使每行每列只能出现一个棋子，问：共有多少种不同的放法（图4-5是其中一种放置棋子的方法）？
图4-5
由于4枚棋子要一个一个地放入棋盘的方格内，因此可看成是分4步解决这个问题。
（1）放置第1枚棋子。此时由于16个棋盘方格都没有棋子，因此，这枚棋子可放在任意一个方格中，有16种不同的放法，如图4-6所示。
图4-6
（2）放置第2枚棋子。由于棋盘中已经放置了1枚棋子，放第1枚棋子那一行和一列中的其他方格内也不能放第2枚棋子，因此还剩下9个方格可以放第2枚棋子，即第2枚棋子有9种放法，如图4-7所示。
图4-7
（3）放置第3枚棋子。这时需去掉第1、2枚棋子所在的行和列的方格，还剩下4个方格可以放置第3枚棋子，则第3枚棋子有4种放法，如图4-8所示。
图4-8
（4）放第4枚棋子。由于要去掉前3枚棋子所在行和列的方格，只剩下1个方格可以放第4枚棋子了，因此第4枚棋子只有1种放法，如图4-9所示。
图4-9
根据上面的分析，用乘法原理即可求出4枚棋子的放置方法数量，共有：
种不同的放法。
4.2.4 买彩票保证中奖的方法
接下来说一个轻松的话题，说说用乘法原理来计算彩票的问题。
目前我国有福利彩票和体育彩票两大类，为国家的福利和体育事业做出了贡献。民众购买彩票为相关事业做出贡献，也有可能中奖改善自己的生活。
作为购买彩票的民众来说，肯定是希望自己能中大奖，那么，该怎么买彩票才能确保中奖呢？
由于彩票中奖号码是由摇奖机随机生成的，没办法猜中，因此，要确保中奖，只有将所有彩票号码全部买完没有遗漏，才可确保中奖！
那么，所有彩票号码共有多少种可能？要花多少钱才能买完？这就需要我们用乘法原理将所有可能都计算出来。
例如，对于体育彩票中的“七星彩”，其游戏规则是：彩票号码长度为7位，每位数字为0～9中的一个。那么，七星彩的彩票号码有多少种可能？
如图4-10所示，绘制7个方框用来填写彩票号码。
图4-10
由于有7个号码，可以认为是分7个步骤来生成彩票号码。
（1）填第1位号码。可以有0～9这10个数字可用，共10种可能。
（2）填第2位号码。可以有0～9这10个数字可用，共10种可能。
（3）填第3位号码。可以有0～9这10个数字可用，共10种可能。
（4）填第4位号码。可以有0～9这10个数字可用，共10种可能。
（5）填第5位号码。可以有0～9这10个数字可用，共10种可能。
（6）填第6位号码。可以有0～9这10个数字可用，共10种可能。
（7）填第7位号码。可以有0～9这10个数字可用，共10种可能。
根据乘法原理，七星彩的号码总数共有：
对于七星彩来说，由于各位数字允许相同，因此计算起来很简单。全部七星彩号码有1000万个，将这1000万个号码全部买完可保证中特等奖。