5.6智叟分牛
余数在我们生活中无处不在，特别是在平均分配某些不可分割的物体时，很多时候都会有余数出现。例如，要将11台电视机中的一半留下来。这时，由于11不能被2整除，而一台电视机又不能切割为两部分，就会有余数产生。
对于这种经过分配后会产生余数的情况，比较有趣的一个例子是：智叟分牛，本节我们来看看智叟分牛的解决方案。
5.6.1 遗产分配难题
传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把所养的19头牛分给3个儿子。其中，老大分得总数的二分之一、老二分得总数的四分之一、老三分得总数的五分之一。按印度的教规，牛被视为神灵，不能被宰杀，只能按整头数分配。父亲的遗嘱更需要无条件遵守。老人死后，兄弟三人对分牛的事一筹莫展。
按老人的遗嘱，老大应分得的牛的数量为：
根据分得总数的二分之一来计算，得到的不是整数的头牛，而是9.5头，显然，有小数部分就必须要分割一头牛。而根据教规，牛是不能被宰杀分割的！
同样，老二分得总数的四分之一，应分得的牛的数量为：
也有小数！
同样，老三分得总数的五分之一，应分得的牛的数量为：
也有小数！
该怎么分配才既符合本国的教规，又能遵守父亲的遗嘱呢？兄弟三人始终想不出好的办法来。
5.6.2 智叟给出的分配方案
正在三兄弟愁眉不展，想不出分配办法时，智叟牵着一头牛从三兄弟家门前经过，于是，三兄弟赶紧向智叟请教方法。
听了三兄弟说出原委后，智叟说：这好办。我把这头牛借给你们。这样，共有20头牛，就好分配了。分完之后，再把借我的这一头牛还给我就行了。
果然，牛的总数从19变为20后，老大分得二分之一，得到的牛的数量为：
同样，老二分得总数的四分之一，应分得的牛的数量为：
老三分得总数的五分之一，应分得的牛的数量为：
三兄弟共分配的牛的总数为：
而借了智叟的一头牛后，牛的总数是20，三兄弟分了19头，正好剩下一头，还给智叟。这样，三兄弟每人分得的牛的头数为整数，也按父亲的遗嘱比例进行了分配。
5.6.3 分配原理
可是，为什么智叟在牛的总数中加上1头牛，然后就可完成这种分配呢？19头牛中的一半为什么是10头呢？
下面我们用算式来计算一下。
按老人的遗嘱，19头牛按老大得到二分之一、老二得到四分之一、老三得到五分之一，则三个人应分得头、头和头。将三兄弟分得牛的数量相加：
可以看出，三兄弟并没有将牛分完，还剩下：
那么，根据父亲的遗嘱，剩下的部分也需要按二分之一、四分之一、五分之一进行分配，则老大还可分得：
老二还可分得：
老三还可分得：
并且，经过第二次分配之后，牛还是未被分配完，还会剩下：
对剩下的这部分，还需要按老大、老二、老三各自的比例进行分配。
可以看出，这种分配是可以无限进行下去的，因此，老大分得的牛的总数应该为：
类似地，老二分得的牛的总数应该为：
同样，老三分得的牛的总数应该为：
可以看出，三兄弟分得的牛的总数构成了3个无穷递缩等比数列，分别对这3个等比数列求和，可知老大、老二、老三分得的牛的总数分别为10、5、4头。正好是智叟分牛的结果。
对无穷递缩等比数列求和，需要用到高中的数学知识。下面我们再来看另一种分析方法比例法。
在本题中，由于要将19头牛按一定比例完全分配给三兄弟，则三兄弟分得牛的数量的比例为：
也就是说，老大应从牛的总数中分得的比例为：
类似地，老二应从牛的总数中分得的比例为：
同样，老三应从牛的总数中分得的比例为：
可以看出，通过比例法计算出来的结果中三人分得牛的数量分别为10、5、4，也正好将全部的牛分完。