第6章 概率——你运气好吗
本次列车能正点到达吗？
这次谈判的项目，有几成把握能签下来？
这个月我申请的机动车牌照号能摇中吗？
我买的彩票能中奖吗？
在现实生活中，我们常常会遇到这类问题。对于这些问题，平常我们总是将其归结为是否有运气。运气好时就能签下合同、摇中车牌、中彩票……。
其实，从数学角度来看，这些都是与概率相关的问题。本章我们来研究概率相关的问题。
6.1 初中学习过的概率
作为程序员，应该对数学中的概率有一定了解，在程序设计的很多地方都可能会用到概率知识。例如，对于一些复杂知识库的判别，就可以用概率。
6.1.1 谁先开球
先来看一个场景。
在足球比赛中，两支球队中只能有一支球队先开球，哪一队先开球就占有先进攻的优势。另外，球场中的阳光、风向也对比赛有重要影响。因此，为了公平，通常会要求两队中的一队选择球门，另一队选择先开球。这时裁判应该怎么决定哪队选球门，哪队先开球呢？
足球比赛之前，裁判员通常用抛硬币的方法让比赛双方的队长猜硬币的正反面，猜中正面的这一队选球门，另一队则先开球。
为什么选用抛硬币的方法来决定呢？
因为大家都觉得这种方法很公平，能保证两队选门或开球的可能性一样大。
那么，为什么大家会觉得这种抛硬币的方法很公平呢？如图6-1所示，可看到硬币有正反两面。在抛硬币时，事先不能确定是正面向上还是反面向上，但是，参赛双方很容易感觉到正面向上或反面向上的可能性是一样的，因此，两队获得选门或开球的可能性是一样的。
图6-1
对于这种可能性，就称为概率，也称为或然率、机会率或机率。使用概率可对随机事件发生的可能性进行度量。
例如，在上面的例子中，两支球队的队长猜中硬币正面的概率各为50％时，机会均等，因此大家都会觉得这是公平的。
类似的例子还有很多。
例如，在围棋比赛中如何确定参赛双方谁下黑子（如图6-2所示）？在围棋中不是采用猜硬币正面的方法，而是采用另一种方法，猜围棋子的单双。在围棋中的术语称为“猜先”，即猜对了的就先下子（下黑子）。猜先的具体作法是：比赛双方中的一方（通常是段位高或年长者）抓一把白棋放在棋盘上，另一方猜对方抓的这一把棋子为单数还是双数，猜对了就可自己选择下黑子还是下白子，若未猜对，则由对方选择。
图6-2
在围棋的“猜先”中，参赛一方所抓围棋子只有两种情况：要么为单数、要么为双数（这就和硬币可以有正反面两种情况类似）。事先双方都不知道棋子的数量是单还是双，为单数或双数的概率是相等的，都为50％。因此，这种方法感觉是公平的。
6.1.2 用程序模拟抛硬币
那么，在抛硬币、猜单双时，硬币的正反面（或棋子的单双）出现次数是否真的完全一致呢？对于这一点，我们可以做一个实验，通过多次抛硬币，记录其正反面出现的次数，然后计算出现的频率。
首先，制作如表6-1所示的记录表格。
表6-1 硬币正面向上次数
接着开始按表格中的“总次数”开始抛掷硬币，并将正面向上的次数记录到表格中。
如果要手工去完成表6-1中的统计数据，需要较长的时间。幸好，我们是程序员，可以考虑使用计算机程序来解决问题。
在C语言中，有一个随机函数rand()，可产生在0～RAND_MAX范围内的一个随机数，即，rand()函数生成的这个数是未知的。我们可以使用这个函数来模拟抛掷硬币的情况。
对于通过rand()函数得到的一个随机数，怎么将其对应于硬币的正、反两面呢？
一种方法是对rand()函数生成的随机数进行运算，如下式：
这样，最终得到的结果只能为0和1这两种情况，假设结果为1时代表硬币正面向上，则只需要统计结果为1的次数，就可得到模拟硬币正面向上的次数了。
另一种更简洁的方法，就是对rand()函数生成的随机数进行奇偶判断（类似于围棋中的猜单双）。假设为奇数时表示硬币正面向上，则只需要统计rand()函数生成的随机数为奇数时的次数，就可得到模拟硬币正面向上的次数了。
根据以上思路编写C语言程序如下：
运行以上程序，输入抛掷硬币的次数为100，得到如图6-3所示的结果。由运算结果可看出，正面向上的频率并不是一半（0.5），而是0.49。并且，如果再次运行程序，同样输入抛掷硬币的次数为100，得到的频率不一定仍是0.49，可能是0.48、0.49、0.51、0.52等值。
图6-3
将获得的“正面向上的频率”填入表格中。多次运行程序，分别输入不同的抛掷硬币的次数，将计算出来的“正面向上频率”数据填入表格中，得到如表6-2所示的数据。
表6-2 硬币正面向上次数
根据表6-2所统计的频率，制作出如图6-4所示的折线图。
图6-4
从图6-4中可看出硬币“正面向上”的频率变化趋势。根据计算，每一组抛掷硬币中“正面向上”的频率都不相同，即每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性。但是，也可发现随机事件发生的频率也有规律：在试验次数较少时，“正面朝上”的频率变化较大，而随着试验次数的逐渐增加，频率会趋于稳定，且“正面朝上”的频率越来越接近0.5。因此，这里就用0.5这个常数表示“正面朝上”发生的可能性大小。
6.1.3 什么是概率
通过运行上面的程序，并通过计算得出的数据生成图表，可归纳总结出以下结论。
实验证明，随机事件发生的频率逐渐稳定到某一个常数，通常这个常数刻画了随机事件的可能性大小，这个常数就称为概率。也可用以下数学语言描述：
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作：
P（A）＝p
根据前面的试验可看出，如果一件事情发生的概率是，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接近于这个数值。
前面介绍的两个例子中，足球比赛中的猜硬币正面或围棋比赛中猜棋子的单双，都只有两种情况发生，要么是硬币的正面，要么是反面（或者棋子数要么为单数，要么为双数），也就是只有两个基本事件。因此，每一种基本事件（如出现硬币正面）发生的概率都为，这个比较好理解。可表示为如图6-5所示的形式。
图6-5
下面，我们看一个相对复杂一点的例子：掷骰子。
一粒骰子有6个面，每面有不同的点数（分别为1～6点），那么，1～6点出现的概率分别是多少呢？
在掷骰子时，骰子的6面都有相同的机会出现在最上面。如图6-6所示，骰子的每一面都表示一个基本事件，并且每个基本事件出现的可能性是相等的，因此，1～6点出现的概率是相同的，其值为：
图6-6
6.1.4 必然事件与不可能事件
在上面的例子中，抛掷硬币时，有硬币“正面向上”和“正面向下”两个事件；抛掷骰子时，有1点至6点这6种事件。也就是说，针对某种活动，可能会有多种事件之一发生，为了更好地分析概率，我们将这些事件分为3种类型，分别是：必然事件、不可能事件、随机事件。其中，必然事件和不可能事件又叫确定事件，而随机事件则是不确定事件。
1．必然事件
在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件。
例如，太阳从东方升起，就是一个必然事件。再如，将3件不合格产品混在一堆合格产品中，再从这些产品中任意抽取4件，那么，其中必有1件是正品。显然，这也是一个必然事件。
可以看出，必然事件发生的概率肯定为1。不过，概率为1的事件不一定为必然事件。
2．不可能事件
在一定的条件下重复进行试验时，不可能发生的事件叫不可能事件。
例如，太阳从西边升起，就是一个不可能事件。再如，春天过后是冬天，也是一个不可能事件。
可以看出，不可能事件的概率为0。不过，概率为0的事件不一定为不可能事件。
3．随机事件
前面说过，必然事件和不可能事件都属于确定事件，即能确定地知道事件必然发生或必然不发生。与此对应，还有很多事件是处于两者之间，即在一定条件下，可能会发生，也可能不发生的事件，这类事件称为随机事件。
例如，抛掷硬币时，“正面向上”的事件有可能发生，也可能不发生。类似地，抛掷骰子时，出现“1点”的事件有可能发生，也可能不发生。
可以看出，随机事件的概率介于0与1之间。
下列事件中哪些事件必然发生？哪些事件必然不会发生？哪些事件可能会也可能不会发生？
（1）我今天买的彩票，中500万元大奖。
（2）明天市内将下大雨。
（3）边长为3cm、4cm、5cm的三角形是直角三角形。
（4）某射击运动员一枪命中靶心。
（5）肥皂泡会破碎。
（6）股市上证指数今天将从昨天的2200点上涨到6000点。
答案
（1）随机事件
（2）随机事件
（3）必然事件
（4）随机事件
（5）必然事件
（6）不可能事件
上面的6个事件中，前5个事件都比较好理解，最后一个事件是股票市场的，根据我国股票市场交易制度中的涨跌幅限制，即使所有股票今天全部涨停，上证指数也不可能从2200点上涨到6000点，因此，这是一个不可能发生的事件。
6.1.5 概率的基本性质
对概率有一定了解后，我们来总结一下概率的基本性质。
1．概率P(A)的取值范围
0≤P(A)≤1；
必然事件的概率为1；
不可能事件的概率为0。
2．任何两个基本事件是互斥的
针对某一个实验，可能有多个基本事件，但任何两个基本事件都是互斥的。这是比较好理解的。
例如，在抛掷硬币这个试验中，有两个基本事件：正面朝上、反面朝上，不可能出现既正面朝上又反面朝上的情况。
同样，在猜围棋子单双的实验中，也有两个基本事件：棋子数量为单数、棋子数量为双数，不可能出现棋子数量既为单数又为双数的情况。
在掷骰子的实验中，如果掷一粒骰子，有6个基本事件：分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点。这6种基本事件也是互斥的，不可能同时出现1点和2点。
3．任何事件都可以表示成基本事件之和
先看一个例子：在抛掷骰子时，出现偶数点的概率为多少？
我们知道，骰子共有1～6点，其中1、3、5为奇数点，2、4、6为偶数点，因此，可以很容易地得出：
即，出现偶数点的概率为。
接下来，我们看看出现“偶数点”这个事件与骰子的几个基本事件之间的关系。
首先，抛掷骰子共有6个基本事件，分别是：P（“1点”）、P（“2点”）、P（“3点”）、P（“4点”）、P（“5点”）、P（“6点”）。
可以看出，“偶数点”这个事件与3个基本事件相关，即事件P（“偶数点”）包含了3个基本事件，分别是：P（“2点”）、P（“4点”）、P（“6点”）。
即，事件“偶数点”等于构成该事件的3个基本事件的概率之和。
4．事件的包含关系对概率的影响
若两个事件A和B之间存在包含关系，如A⊆B，则事件A的概率将小于等于事件B的概率，即：
这个结论应该很好理解。前面掷骰子的例子中，“2点”这个事件就包含于“偶数点”这个事件中，因此，其概率也小于“偶数点”的概率，即：