7.3 对折纸张
我们已经知道翻番就是使得到的数为基数的2倍，下面我们再来研究与翻番相反的问题——折半，即指每次得到的数为基数的一半。
这节我们研究一个看似简单的问题——折纸，就是将纸张进行多次对折。这个操作可以比较直观地看到折半问题的效果。
7.3.1 有趣的问题：纸张对折
如图7-3所示，左边是一张纸，沿中线对折后得到右图的效果，这样就算完成了一次对折。接着看这样一个问题：一张纸能对折多少次？
图7-3
这个问题看起来很简单，感觉应该能对折很多次，至少不会少于10次吧。
是不是真的能对折任意多次，或对折10次以上呢？
我们来试一下。如图7-4（a）所示，首先将一张纸展平，然后对长边进行对折，得到右图所示效果。这样，对挤后的纸张厚度为2张纸的厚度。
图7-4
接着，如图7-4（b）所示，将2张纸再次沿同一方向进行对折，得到右图所示效果，对折后得到4张纸的厚度。
然后，如图7-4（c）所示，将4张纸再次沿同一方向进行对折，得到右图所示效果，对折后得到8张纸的厚度。
从图7-4中可以看到，经过3次沿同一方向对折后，对折边的长度已经只有原来长度的八分之一了。
这时可继续沿同一方向进行多次对折，当这一方向不能再对折时，接着沿对折后的长边再次进行对折。一共能对折多少次呢？
经过实验，对于常见的A4幅面的纸张，长宽方向都进行对折，对折次数最多达到7次。对于幅面很大的报纸（如对开的《人民日报》，其展开长度为841mm，宽度为594mm），对折次数最多达到9次。
读者可以马上拿一张纸来对折试试！
7.3.2 100米长的纸能对折几次
通过前面的试验我们可以发现，每对折一次，这叠对折后的纸的张数就会翻番，也就是说这叠纸的厚度会翻番。
并且，当这叠纸的厚度接近对折边的长度时，就没办法进行对折操作了（从理论上来说，对折边的长度应大于厚度，才能进行对折。但实际操作时，当厚度小于并接近对折边的长度时，就没办法进行对折了）。
有了以上分析，除了实际验证之外，我们也可以通过数学的方法，通过计算来进行验证。只需要计算每次对折后的厚度、对折边的长度，就可以方便地判断出是否还能继续对折，也就可以得到对折的次数了。下面，我们就来进行计算。
首先，计算A4幅面纸张能对折多少次。
已知A4幅面纸张的长为297mm，宽为210mm，每平方米70克的复印纸的厚度约为0.08mm。根据这个已知条件，我们来进行计算，每对折一次其对折边长度减半，而厚度翻番。具体计算过程如表7-8所示。
表7-8 A4纸对折过程
按表7-8中的计算，当按A4纸的长边（边长为297mm这边）连续进行6次对折后，其厚度已达到5.12mm，而长度只有4.64mm，因此，这时就无法再沿这边进行对折了。从第7次对折开始就沿A4纸的短边（边长为210mm）进行对折，第9次对折后，纸的厚度已达到40.96mm，而长度只有26.25mm了。显然没办法继续进行对折了。
也就是说，从理论上来讲，A4纸最多只能对折9次。在实际操作中，对折时重叠在一起的纸张厚度之间会有一些间隙，要占用一定的厚度空间，并且对折时需要足够的长度才能使一叠纸弯曲等原因，肯定达不到理论上对折9次的效果。通常A4纸只能对折7次！
从表7-8中可看到，纸张的厚度是影响对折次数的一个关键因素，那么，我们找很薄的纸张进行对折，对折次数是不是能明显增加呢？我们再选择A4幅面的薄纸来试一下。
每平方米16克的薄页纸的厚度为0.036mm，假设我们使用A4幅面的这种纸来进行对折，能对折多少次呢？计算过程如表7-9所示。
表7-9 A4薄纸对折过程
从表7-9中可看出，虽然16g纸张的厚度比70g纸张的厚度少了一半多，但对折次数并没有增加1倍，而仅仅增加了1次！
按照以上分析，似乎当纸的长度足够长时，对折的次数就可以为任意多次。那么，这个结论正确吗？我们来验证一下。
长度为297mm的纸张只能对折9次（理论上），我们将长度明显增加，增长到100m（即100000mm），相对于A4纸张来说，长度方向增加了300多倍，对折次数能增加多少呢？还是看实际计算过程吧，如表7-10所示。
表7-10 长度100m纸张对折过程
从表7-10中的计算结果可看出，虽然纸张的长度增加了300多倍，但是对折次数并没有显著增加，只增加了1～2次而已。
在表7-10中，计算了两种厚度，一种是按单张纸厚0.1mm进行计算，一种是按单张纸厚0.036mm进行计算。
从上面的分析可以看到，对折的关键还是在于纸张的厚度，每对折一次，纸的厚度值就翻一番。根据本章前面介绍的翻番知识，可用以下公式计算对折后的厚度：
根据以上公式，可以计算出对折n次后纸的厚度是单张纸厚度的多少倍，如表7-11所示。
表7-11 对折几次后厚度对比表
从表7-11中可看出，当对折40次后，得到的厚度为单张纸厚度的1.09951×1012倍。假设单张纸的厚度为0.1mm，则对折40次后的厚度为：
也就是说，将厚度为0.1mm的纸张对折40次，得到对折后纸张的厚度将达到10万公里以上，可以绕地球17圈！
7.3.3 计算对折次数的程序
对于纸张的对折，如果每改变一次长度、宽度或纸张的厚度，我们都需要重新去推算一次，会比较麻烦。作为程序员，首先想到的就是编写一个程序，能快速计算出理论上的对折次数。这个程序比较简单，只需要重复计算对折边长、对折厚度，然后进行判断即可。具体程序如下：
在以上程序中，由于在长度或宽度方向进行对折的操作都是相同的，因此使用一个数组来保存长度和宽度，方便程序中使用循环处理对折。
编译并运行以上程序，参照表7-8所示的数据，输入纸张的宽度为297、宽度为210、厚度为0.08，则可得到如图7-5所示的运行结果。
图7-5