7.2复利的威力
曾经有人这样问过爱因斯坦：“世界上什么威力最大？”爱因斯坦不假思索地答道：“复利，复利的威力比原子弹还可怕！”。
那么，什么是复利？复利有什么奥秘？
通过复利，在多长时间能使我们的投资翻番？
下面我们就来探索复利的问题，在这之前，先了解一下投资回报的概念。
7.2.1 利润——投资回报
随着国家GDP不断翻番增长，大家的收入也在不断增长。为了使自己的财富保值增值，投资理财也成为了大家很关心的话题。对于投资理财，大家最关心的就是投资回报率。
所谓投资回报率，是指正常年度利润或年均利润占投资总额的百分比。其计算公式如下：
投资回报率能反映投资的综合盈利能力，且由于剔除了因投资额不同而导致的利润差异的不可比因素，因而具有横向可比性（如投资10万与投资100万年利润金额是不可比的，但若用投资回报率来比较，就具有可比性），有利于判断不同投资项目业绩的优劣；此外，投资回报率可以作为选择投资机会的依据，有利于优化资源配置。
投资回报率这个概念显得很高深，其实，简单地说，就是投入的钱可获取的收益百分比。例如，将钱存在银行后可获得利息收入，就是一种投资回报。而利率通常是按百分比来显示的，如一年期定期存款的年利率是3％，表示将100元钱存入银行一年，可获取3元的利息。
当然，除了将钱存在银行获取利息收入这种投资方式之外，现在我们还可以有多种投资理财方式。例如，购买股票、基金、债券、国券等，或购买房产、投资实业公司等。对于这些投资项目，都可能给投资者带来收益。根据前面介绍的公式，将年利润除以投资总额即可得到该投资项目的投资回报率。
7.2.2 认识单利
通常，理财项目都会公布预期收益率（也就是投资回报率），对于这些收益率，投资者需要注意是单利模式还是复利模式。
所谓单利，是指仅对本金计息的利息计算方式。
单利方式计算投资的利润收入的公式如下：
通过单利方式投资后获取的利润和本金的总收入可用以下公式计算：
了解这些计算公式后，下面来计算一个投资项目的收益。
老张准备为儿子存储50000元教育基金，5年后才会支取使用。为了保障资金的安全，老张准备将这笔钱在银行存定期。根据银行的定期存款期限，可以选择存5个1年期（即每年期满后再续存），也可以选择存1个5年期，还可选择存1个2年期和1个3年期。那么，在这些存款方式中，哪种方式可获取更高的收益？下面我们帮老张计算一下。
首先，通过网络查询得到如表7-1所示的2012年7月6日开始执行的存款利率表。
表7-1 存款利率表
续表
从表7-1中可看到，1年期整存整取的年利率为3.25％。如果将50000元存5次1年期，则总收入为：
如果将50000元存1次2年期、1次3年期（2年期整存整取的年利率为3.75％，3年期整存整取的年利率为4.25％），则总收入为：
如果将50000元存1次5年期（5年期整存整取的年利率为4.75％），则总收入为：
将以上计算结果汇总到如表7-2所示的表格中，在这张表中计算出了每一年的利息收入。从表中的结果可看出，一次性存5年整存整取的收益最高，本利合计为61875元，与存5次1年期整存整取相比要多出3750元。
表7-2 有款利率汇总表
可以看出，同样将钱存到银行，选择不同的存款期限获取利息的差距还是很大的，5个1年期存款的利息收入与1个5年期存款的利息收入相差3750元，比例为46.15％。
7.2.3 认识复利
在表7-2所示的3种存款方式中，可以明显看出定存期限越长，银行支付的利率越高，最后获取的利息也就越多。
不过我们也发现一个问题，按1年期定存时，既然每年都要重新做一次1年期定存操作，为什么不可以将上一年度存款获取的利息也一起存呢？这样获得的利息肯定也更多。
如果读者已经意识到这个问题了，那么恭喜你找到了一条致富的途径：复利。
什么是复利呢？就是将上期利息加入本金，然后一并计算利息的一种方法。例如，在按1年期定存时，第1年期满后取得利息，第2年定存时将本金和利息一并存入。在第2年期满后获取的利息又与本金一起定存1年，如此周而复始，就是复利，民间俗称“利滚利”。
下面，我们就来计算1年期定存50000元，并按复利形式计息，5年后本利合计共是多少钱。具体计算过程如表7-3所示。
表7-3 1年期定存（复利）
年利率：3.25％
年利率：3.25％
从表7-3中可看出，在复利计算时，总是将前一期的本利合计作为下一期的本金。例如，第1期期满后的本利合计用如下公式计算：
第2期的本利合计用如下公式计算：
而将“第1期本利合计”的公式代入上式的公式，可得：
类似地，第3期的本利合计的公式如下：
第n期本利合计的公式如下：
在表7-2中列出的是单利方式得到的本利合计，对比表7-2和表7-3可看出，1年期定存5年，如果采用单利方式，本息合计为58125元，而采用复利方式，本息合计为58670元。也就是说，复利方式比单利方式多获得利息545元，与单利方式相比，可多获取6.7％的利息收入。看起来5年利息收入只多6.7％，绝对值也只有545元，不算多。可是，如果将存钱的时间拉长，就可看出复利的威力了。如表7-4所示，是按1年期存款的单利和复利的对比（按20年为周期对比）。
表7-4 1年期定存
年利率：3.25％ 本金：50000
从表7-4中可看出，经过20年，复利比单利多获得利息12291.9元，多37.81％。也就是说，复利方式比单利方式获得的利息可多出三分之一。
根据表7-4中的数据可绘制出如图7-1所示的对比图，从图7-1中可看出，在单利方式下，利息收入与时间之间的关系呈现为一条直线，而复利方式下，利息收入与时间之间的关系呈现为一条向上弯曲的曲线。
图7-1
上面的例子中都是以定期存款为例进行的计算。由于银行定期存款基本上无风险，因此其收益率也很低。如果做其他投资产品或投资实业，将获得更高的年收益率。假设投资某一项基金（或信托产品），年收益率为10％。那么，按单利和复利方式计算，经过20年投资可获得多少收益？
具体计算过程如表7-5所示。
表7-5 增加年收益后单利与复利的对比
年收益：10.00％ 本金：50000.00
表7-5是按年收益率10％，以50000元投资20年时，单利方式与复利方式的收益对比。从表7-5中可看出，单利方式的收益在第10年时可与最初投入的本金相等（即投资翻倍了）。而在复利方式下，第7年时的收益就接近翻一倍了。到第20年时，单利方式的收益是本金的2倍，而复利方式的收益是本金的5-73倍。
通过以上的分析可知道，复利的要素有3方面：
初始本金：初始投入的本金越大，复利获取的收益越多。
回报率：回报率越高，复利获取的收益越多。
时间：投资的时间越长，复利获取的收益越多。
7.2.4 计算投资回报的程序
通过前面演示的例子，作为程序员的我们，就可以编写程序来帮助我们快速计算出投资回报。在程序中，让用户输入初始投资额、回报率、投资期数等数据，然后就可快速计算出相应的利润、本利合计等数据。
具体的程序代码如下：
由于C语言中未提供阶乘运算，因此，在以上程序中编写了fact()函数用来计算阶乘；然后编写计算投资回报的函数ROI。
运行以上程序，输入前面例子中计算过的数据，其中投资金额为50000，回报资为0.1（10％），投资期数为20期，则可得到如图7-2所示的运算结果。
图7-2
7.2.5 忘还钱的信用卡
信用卡是一种非现金交易的付款方式，是简单的信贷服务。持卡者只需要在商户的POS机中刷卡消费即可完成向银行的小额贷款服务。由于信用卡使用方便快捷，受到了很多用户（特别是年轻消费者）的欢迎。
可是，很多信用卡用户由于各种原因忘记了按时还款，由此导致出现了高额的利息。可别忘了，信用卡的利息是按月进行复利计算的！那可是一笔高昂的费用！
目前我国绝大部分银行发行的信用卡透支利息计算方式是：上期对账单的每笔透支金额为计息本金，自该笔透支交易的记账日起至还款日为计息天数，按日利率万分之五计息，按月计收复利。另外每月还会按计息本金的5％收滞纳金。
例如，最近媒体报道，有一个信用卡持卡人在2008年10月3日的欠款余额是1057.86元，此后，这张信用卡除了银行扣收滞纳金、利息、超限费，再没有发生任何一笔业务。结果到2012年底，银行的催收通知单显示，本息合计欠款23000多元。
欠款1057.86元，4年多时间，怎么就变成23000元了呢？下面我们来帮这位持卡人计算一下，具体计算过程如表7-6所示。
表7-6 信用卡利息计算
日利率：0.0005 月利率：0.015
在表7-6的计算中，日利率为万分之五（0.05％），按每月30天计算，则月利率为1.5％，转化为年利率达到18％，这个利息不可谓不高，并且利息是按月进行复利计算的。也就是说，每个月账单中的本利合计作为下月的本金。当然，除了本金、利息之外，还有更大一部分费用就是滞纳金（为5％），那可比利息更高。所以，通过近50个月的“利滚利”积累，该持卡人的还款额就从1000多元增涨到了23000多元了。
当然，以上算法只是按照银行规则进行的测算，实际上在不同银行的计算方法有些不同，最终的还款金额也会有所不同。
怎么样，再一次见识到复利的威力了吧！在信用卡利息的计算上，是按月计算复利，比我们前面例子中按年计算复利更厉害。
7.2.6 爱因斯坦的72法则
了解复利后，再利用爱因斯坦的72法则，我们就可以轻松算出自身价值何时翻倍。
爱因斯坦的72法则，也是金融学上有名的“72法则”，是指“用72除以增长率（回报率）”可快速估计出投资倍增或减半所需的时间，反映出的是复利的结果。
例如，如果初始本金为10000元，年回报率为9％，则要使这笔投资本利合计翻倍（即达到20000元），可用以下算式快速计算出需要的时间：
即表示经过连续8年这种固定收益的投资回报，就可使投资翻倍。是不是这样呢？下面我们进行逐年计算，得到如表7-7所示的结果。
表7-7 72法则验证
年回报率：9％
从表7-7中可看出，经过8期的复利计算，最后本利合计为19925元，约为20000元。从这个表就可以验证出72法则是有效的。
通过上面的验证可知道，根据72法则就可快速估算出投资翻倍的期数。例如，1年期定存每期（每年）的回报率（利率）为3.25％，要使存款翻倍需要的期数（年数）为：
也就是说，如果按1年期定存的方法进行投资，需要22年多点的时间才能让投资金额翻倍。而前面计算过，如果年回报率为9％，则只需要8年时间就能让投资金额翻倍。如果投资回报率能达到更高的水平，则投资翻倍的时间将会更短。
其实，对于投资回报率，不要求有多高，只要稳定在一个合理的水平，经过较长的一个投资期，仍然可以得到可观的回报。例如，现在的华人首富李嘉诚，他从16岁开始创业一直到85岁时，白手起家69年，家产已达310亿美元。对于普通人来说，这是一个天文数字。
但是，我们仔细计算一下，如果我们有10000美元进行投资，每年的回报率能稳定达到24.3％，用69年的时间，就可使投资的本利合计达到330亿美元。
在做股票之类的投资者看来，觉得一年24.3％的收益率简直不值一提，经常会有年收益率超过100％的情况。但是，如果能长期稳定地保持在这一较低的回报水平（24.3％），经过长时间的投资，回报也是非常高的。
根据72法则来计算，24.3％的回报率，投资翻倍需要的年数为：
也就是说，经过3年的投资，10000美元的本金就可变成20000美元。按这个收益率，每过3年就可使投资额翻番，因此，经过69年，最初10000美元的本金翻20多番后就可达到一个天文数字。