9.2归纳推理
除了演绎推理外，在逻辑推理中常用的还有一种称为“归纳推理”的方法。下面我们来研究归纳推理，以及对比其与演绎推理的关系。
9.2.1 什么是归纳推理
我国著名数学家华罗庚写的《数学归纳法》一书中，举过这样一个例子：
从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋子里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了。这时，我们会出现另一种猜想：“是不是袋里的东西全都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了。那时，我们又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见分晓。
华罗庚举的这个例子，是对简单枚举归纳推理结论性质的一个通俗说明。
人们应用简单枚举归纳推理，当然可以从为数不多的事例中推导出普遍的规律性来，然而这还是一个“猜想”。这种猜想对不对，还必须进一步加以验证。
从一个袋子里摸球，连续摸了5次，摸的都是红玻璃球，这时候，我们可以通过简单枚举归纳推理得出结论：“这个袋子里装的都是红玻璃球。”但是，得出这个结论时，必须清醒地认识到这个结论是不可靠的。正如这个例子所表明的，第6次摸出的却是白玻璃球了，这就把前面的结论推翻了。因此，当摸了6个球后，只能得出“这个袋子里装的都是玻璃球”的结论了；摸第7个球时，又只能得出“这个袋子里装的都是球”的结论。当然，这个结论也未必正确。
现在，我们可以给归纳推理下个定义了。所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。例如，在上面的摸球例子中，就是从有限的摸球次数中推出相应的结论。
传统上，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理，如图9-15所示。完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。例如，在前面摸球的例子中，经过多次摸球得出结论是不完全归纳推理，如果将袋中的球全部摸出后得出的结论就是完全归纳推理。
图9-15
归纳推理的前提是其结论的必要条件。另外，归纳推理的前提是真实的，但结论却未必为真，而可能为假。例如，有名的“守株待兔”故事，就是根据某天有一只兔子撞到树上死了，推出每天都会有兔子撞到树上死掉，显然这个结论是假的。
9.2.2 完全归纳推理
完全归纳推理是根据某类事物中每1对象都具有（或不具有）某种属性，从而推出该类事物全部对象都具有（或都不具有）某种属性的结论。
例如：以下就是一个完全归纳推理的例子。
可以看到，这种完全归纳推理的逻辑形式如下：
完全归纳推理的特点是：在前提中考察了某一类事物的全部对象，结论没有超出前提所断定的知识范围，因此，其前提和结论之间的联系是必然的。
运用完全归纳推理要获得正确的结论，必须满足两条要求：
在前提中考察了某一类事物的全部对象。
前提中对该类事物每个对象所做出的断定都是真的。
完全归纳推理在日常生活中经常用到。如“某中学的实验班高考成绩都上了二本线”、“今天车间生产的产品全部合格”、“实验班的任课老师都是高级教师”等结论，都是通过完全归纳推理获得的。概括地说，完全归纳推理的作用主要有以下两方面：
认识作用。虽然完全归纳推理的前提所断定的知识范围和结论所断定的知识范围相同，但它仍然可以提供新知识。这是因为，它的前提是个别性知识的判断，而结论则是一般性知识的判断，也就是说，完全归纳推理能使认识从个别上升到一般。
论证作用。由于完全归纳推理是一种前提蕴涵结论的必然性推理，因而人们常常用它来证明论点。
由于完全归纳推理的结论必须在考察了某类事物的全部对象后才能做出，因此这种推理方法的使用会受到一定的限制。例如，通常以下两种情况就无法（或不适合）使用完全归纳推理：
当对某类事物中包含的个体对象的确切数目还不甚明了，或遇到该类事物中包含的个体对象的数目太大乃至无限大，没办法一一考察时，这时，就不可能使用完全归纳推理。
当某类事物中包含的个体对象虽有限，也能考察穷尽，但不宜考察或不必考察时，也不适宜使用完全归纳推理。例如，某鞭炮厂要考察本批产品是否全部能正常燃放，不可能将所有鞭炮都燃放了，再得出结论。
9.2.3 不完全归纳推理
前面提到，当所要考察的事物数量极多，甚至是无限的时候（或者因为某些特殊情况），不能使用完全归纳推理，这时就需要使用不完全归纳推理。那么，什么是不完全归纳推理？
从名称可看出，不完全归纳推理是根据某一类事物中的一部分对象都具有某种属性，从而推出该类事物都具有该种属性的结论。
在进行不完全归纳推理时，根据选择某一类事件中一部分对象的不同方法，又可将不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理、科学归纳推理、概率归纳推理和统计归纳推理等4种方式。
1．简单枚举归纳推理
在一类事物中，根据已观察到的部分对象都具有某种属性，并且没有遇到任何反例，从而推出该类事物都具有该种属性的结论，这就是简单枚举归纳推理。
例如，哥德巴赫猜想就是用了简单枚举归纳推理提出来的。200多年前，德国数学家哥德巴赫发现一个现象，一些奇数都分别等于3个素数之和，例如：
1＝3＋3＋11
41＝11＋13＋17
77＝7＋17＋53
461＝5＋7＋449
哥德巴赫并没有把所有奇数都列举出来（也不可能将所有奇数列完），只是从少数例子出发就提出了一个猜想：所有大于5的奇数都可以分解为3个素数之和。这就是典型的“简单枚举归纳推理”。
可以看出，简单枚举归纳推理的逻辑形式如下：
可以看出，简单枚举归纳推理的结论是或然的（不是必然的）。如本节开头介绍的华罗庚所说的摸球例子，随着枚举对象数量的增多，有可能出现反例。
因此，要提高简单枚举归纳推理的可靠性，必须注意以下两点：
枚举的数量要足够多，考察的范围要足够广。
考察有无反例。
在进行枚举归纳推理时，如果不注意以上两点，就会犯“以偏盖全”的逻辑错误，出现类似“守株待兔”式的结论。
2．科学归纳推理
科学归纳推理是根据某一类事物中部分对象与某种属性间因果联系的分析，推出该类事物具有该种属性的推理。
例如，有以下实验及推理过程：
可以看出，前面部分与枚举归纳类似，都是枚举某一类事物的同一个属性，只是在有限的枚举之后，有一段关于属性与对某一类对象之间有因果联系（而这个因果联系是与科学分析相关的）的描述，最后得出结论。
因此，科学归纳推理的逻辑形式如下：
需要注意的是，在科学归纳推理中，枚举出某一类事物中的对象与属性之间的因果联系，必须是满足已有科学知识（如上例中“分子受热”变化是一种客观存在的科学知识）。
3．概率推理
在本书第6章专门讨论了概率，并且知道概率是一种数学统计方法。其实，也可以将这种数学统计规律运用到逻辑推理中，就形成了概率推理这种方法。
根据第6章介绍的知识我们知道，某种随机事件的概率愈大，表明该事件发生的可能性程度就愈大；反之，其概率愈小，表明该事件发生的可能性程度也就愈小。因此，某一随机事件的概率大小，标志着该事件发生的可能性的大小。运用概率这种逻辑方法（它更是一种数学方法）进行逻辑推理时，首先需要对大量的基本事件进行广泛的考查。考查范围愈广，对象愈多，从中获得的概率本身的正确性就愈大；反之，如果考查范围很窄，对象很少，那么从中获得的概率，未必就是该类事件的概率。因此还可以说，概率是从个别中归纳出一种关于一般的可能性规律。
下面看一个例子：
根据概率相关知识，我们知道抛掷一枚硬币时，正面朝上和反面朝上的概率几乎相等。则连续抛掷100次硬币，正面朝上的次数为多少次？
这个例子中，大前提是“硬币正反面概率相等”，那么“抛100次硬币”，则可推出结论是“正面朝上50次”。
需要注意的是，这个结论不是必然的，而只是一个可能值。
概率告诉我们的是大量选取中所发生的情况，并不能直接推导出下一次的准确结果。例如，将上例中的问题进行修改，具体描述如下：
根据概率相关知识，我们知道抛掷一枚硬币时，正面朝上和反面朝上的概率几乎相等。现在已经连续抛掷了5次硬币，每次都是正面朝上，那么，接着抛第6次时一定会反面朝上吗？
根据概率知识，我们知道硬币正面朝上的概率为50％，但并不意味着每两次抛掷硬币都会得到一正一反的结果。在这个例子中，前5次虽然都得到正面朝上的结果，但这个结果并不会影响后面硬币的正反面结果。也就是说，每一次抛掷硬币都是独立事件，与之前抛掷的结果并没有关系。
不过，随着抛掷硬币次数的增多，硬币正面朝上和反面朝上之比将会趋近于1∶1（即各点50％）。
4．统计推理
在统计学中，某一被研究领域的全部对象称为总体；从总体中抽选出来加以考察的那一部分对象称为样本。由样本具有某种属性推导出总体也具有某种属性的推理称为统计推理。
例如，某大学对大四学生是否考研进行了抽样调查，并根据抽样数据进行统计，得出以下统计推理过程：
可以看出，在统计推理中，通过某一小部分样本的数据统计结果推导出整体数据的相关结论。根据上面的过程，可知道统计推理的逻辑形式如下：
在统计推理中，要使最终推导出的结论可靠，抽样必须要具有代表性，也就是说抽取的样本要具有代表性。根据不同的统计总体特性，可设计不同的抽样方式。例如，对于流水线上的产品进行抽样，可考虑在几个间隔均匀的时间段抽样，或间隔均匀的产品数量中进行抽样。