10.4图形剪拼
通过前面几个例子可看出，即使是很简单的几何图形构造，也可演化为一个有趣的问题。在本节中，我们再来看几个有关图形剪切、拼接的例子。
要把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小及它们之间的位置关系。
10.4.1 均分三角形
如何将一个等边三角形均分为8个形状、大小都一样的三角形？
首先可以想到的是，在等边三角形的三边分别取中点，然后连接这些边的中点，得到如图10-18所示的图形。
图10-18
经过一次分割，在图10-18所示图形中得到了4个形状、大小都相同的三角形，并且这4个三角形都是等边三角形。
接下来就好办了，要得到8个形状、大小都相同的三角形，只需要将图10-18所示的4个等边三角形分别切分为2个对称的三角形。即将4个三角形中的每一个都通过一个角作一条平分线，如图10-19所示，就得到了8个形状、大小都相同的三角形了。
图10-19
当然，也可以做出与图10-19所示不同的图形，只要从图10-18所示的4个三角形的任一角作平分线，都可将一个等边三角形平分为形状、大小相同的两个三角形。
对要求进行一下变化，如果要将一个等边三角形均分为9个形状、大小都一样的三角形，该怎么分割？
其实，要将等边三角形均分为9份，可以先将每条边平均分为三等份（图10-18中是将边均分为两等份），然后再把分点彼此连接起来，就可得到如图10-20所示的图形了。从图中可看到，这个等边三角形已被分割成9个形状、大小完全相同的三角形了。
图10-20
可以看出，对于等边三角形的分割比较简单，下面我们再来看看对矩形图形的分割。
10.4.2 拼接正方形
如图10-21所示是一个由多个正方形块组成的平面图形，其中，左上角缺少了4个方格。现在能不能将该图分割成3块，然后再拼接成一个正方形？
图10-21
设每一个小方格的边长为1。
首先对图10-21进行分析。这是一个残缺的正方形，边长为6，其面积应该为36。但是，由于左上角缺了4个方格，因此该图的面积为32。因此，最后拼接成的正方形的面积也应该是32，才能完成题目的要求。
原图形面积是32，所以拼成正方形的面积也应是32，即正方形边长应为，不是一个整数。如果正方形的边长不为一个整数，对图10-21的图形的分割就比较麻烦，感觉不好着手。
我们还是从最后拼接成的正方形的边长入手，根据前面的计算其边长应该为，即。图10-21所示图形是由若干个边长为1的小正方形组成的，而边长为1的小方格的对角线长为，如图10-22所示。
图10-22
如果要使拼接后的正方形的边长为，我们可以考虑用4个小方格的对角线连线来作为边长。
有了这个思路，就可考虑将图10-21作如图10-23所示的分割线了，图中从左上方向右下方的虚线AB就是分割线。线段AB的长就是。
图10-23
这样，我们就找到拼接正方形的两条边了（分割以后就是两条边长为的边）。
接下来还需要分割出正方形的另两条边。在图10-23所示分割图形中，虚线AB右上方是一个规则的图形，并且最长边就是AB，再次分割的可能性小。而左下方的图形不规则，且面积较大，还可从多个角度找到分割边长为的组合。例如，制作一条与AB平行的、从左上角到右下角的分割线，得到如图10-24所示分割结果（为了辨识方便，这里将图形的角部分别添加上一些字母标识）。
图10-24
将图10-24通过虚线分割的三部分分离出来，得到如图10-25所示的三部分。
图10-25
在图10-25中可以看到，虽然有4条边的边长为，但是，由这三个图形显然拼接不了一个正方形。因此，图10-24中设置的CD分割线不正确。
仔细观察图10-23，左上角有一个边长为2的缺口，而经过AB线分割后，右下角也有一部分边长为2。这时，可考虑将右下角边长为2的部分切割嵌入到左上角。因此，可考虑绘制如图10-26所示的一条分割线CD。
图10-26
图10-26所示的两条分割线可将该图分割为如图10-27所示的三部分，感觉这三部分应该能拼接成一个正方形了。
图10-27
在图10-27所示的三个图中，将（b）图放在（a）图左上方，将（c）图放在前两个拼接图形的左下方，即可得到一个正方形，如图10-28所示。
图10-28